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Suites et séries

Séries géométriques : formule de la somme, convergence, exemples

La somme d'une série géométrique, pourquoi elle ne converge que si |r| < 1, les sommes partielles et comment écrire un décimal périodique en fraction.

Par l'équipe PracticeCalculus Publié Lecture : 8 min

Sur cette page
  1. Qu'est-ce qu'une série géométrique ?
  2. La formule de la somme d'une série géométrique
  3. Quand une série géométrique converge-t-elle ?
  4. Voir les sommes partielles approcher la limite
  5. Exemple corrigé 1 : une somme qui commence à n = 1
  6. Exemple corrigé 2 : une raison négative
  7. Exemple corrigé 3 : une série divergente
  8. Exemple corrigé : une somme géométrique finie
  9. Les nombres décimaux périodiques comme séries géométriques
  10. Un exemple concret : la balle qui rebondit
  11. Des séries géométriques aux séries entières
  12. Les erreurs fréquentes sur les séries géométriques
  13. Aide-mémoire
  14. Entraînez-vous jusqu'à ce que la formule soit automatique

Additionnez 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots indéfiniment. Une infinité de termes positifs, et pourtant le total ne dépasse jamais 2. Les séries géométriques sont le seul type de somme infinie qu'on peut calculer exactement avec une seule formule, et elles sont la base de toute l'étude des séries, des critères de convergence aux séries entières.

Qu'est-ce qu'une série géométrique ?

Une série géométrique est une somme dans laquelle chaque terme est le terme précédent multiplié par un nombre fixe r, appelé la raison :

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots

Ici a est le premier terme. Pour trouver r, divisez un terme quelconque par le précédent. Pour 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots, le premier terme est a = 1 et la raison est r = \frac12.

La formule de la somme d'une série géométrique

La n-ième somme partielle additionne les n premiers termes :

S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \qquad (r \ne 1)

La somme infinie est la limite de S_n quand n \to \infty. Si |r| < 1, alors r^n \to 0 et les sommes partielles se stabilisent :

\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \qquad \text{quand } |r| < 1

Un moyen pratique de la retenir : somme = premier terme sur un moins la raison.

D'où vient la formule

Écrivez S_n, multipliez par r et soustrayez :

S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n

Tous les termes du milieu se simplifient, il reste S_n - rS_n = a - ar^n. Factorisez et divisez :

S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \quad\Longrightarrow\quad S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}

Cette astuce de soustraction vaut la peine d'être retenue. Elle marche aussi bien pour les sommes géométriques finies qu'infinies.

Quand une série géométrique converge-t-elle ?

Tout dépend de la taille de r :

Raison Comportement de r^n La série
\lvert r\rvert < 1 tend vers 0 converge vers \frac{a}{1-r}
r = 1 reste égal à 1 diverge (a + a + a + \cdots)
r = -1 alterne entre 1 et -1 diverge (les sommes partielles oscillent)
\lvert r\rvert > 1 croît sans limite diverge

(On suppose partout a \ne 0.) Une série géométrique converge donc si et seulement si |r| < 1. Cette règle nette explique pourquoi les séries géométriques servent de référence dans les critères de comparaison et de d'Alembert.

Voir les sommes partielles approcher la limite

Pour 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots, la formule des sommes partielles donne S_n = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\frac12\right)^n. Les premières valeurs sont 1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375. Chacune comble la moitié de l'écart restant jusqu'à 2.

Les sommes partielles de 1 + 1/2 + 1/4 + ... tendent vers 2
Les points sont les sommes partielles S_n = 2 - 2\left(\frac12\right)^n. Elles montent vers la droite en pointillés y = 2, la somme de la série, sans jamais la dépasser.

Quand r est négatif, les sommes partielles oscillent autour de la limite au lieu de monter vers elle. Pour 1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \cdots (avec r = -\frac12), les sommes partielles valent 1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, \dots, passant au-dessus puis en dessous de la somme \frac{1}{1 + 1/2} = \frac23.

Les sommes partielles de 1 − 1/2 + 1/4 − ... oscillent autour de 2/3
Avec r = -\frac12, les sommes partielles dépassent puis manquent la somme \frac23, en s'en rapprochant à chaque fois.

Exemple corrigé 1 : une somme qui commence à n = 1

Calculez \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac25\right)^n.

Étape 1. Trouver le premier terme. Remplacez n = 1 : a = 3\cdot\frac25 = \frac65.

Étape 2. Trouver la raison. Chaque terme est multiplié par \frac25, donc r = \frac25.

Étape 3. Vérifier la convergence. |r| = \frac25 < 1, donc la série converge.

Étape 4. Appliquer la formule.

\sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n = \frac{6/5}{1 - 2/5} = \frac{6/5}{3/5} = 2

Exemple corrigé 2 : une raison négative

Calculez \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}.

Étape 1. Réécrire sous forme standard. \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac13\cdot\frac{(-2)^n}{3^n} = \frac13\left(-\frac23\right)^n.

Étape 2. Lire a et r. Pour n = 0, le terme vaut \frac13, donc a = \frac13 et r = -\frac23.

Étape 3. Vérifier. |r| = \frac23 < 1. Elle converge.

Étape 4. Sommer.

\frac{1/3}{1 - (-2/3)} = \frac{1/3}{5/3} = \frac15

Exemple corrigé 3 : une série divergente

La série \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n} converge-t-elle ?

C'est une série géométrique avec a = 1 et r = \frac32. Comme |r| > 1, les termes croissent et la série diverge. Appliquer \frac{a}{1-r} donnerait \frac{1}{1 - 3/2} = -2, une réponse dénuée de sens. Vérifiez toujours que |r| < 1 avant d'utiliser la formule.

Exemple corrigé : une somme géométrique finie

La formule des sommes partielles marche pour toute somme géométrique finie, même quand |r| > 1. Calculez 2 + 6 + 18 + \cdots + 2\cdot 3^9.

Étape 1. Identifier a, r et n. Le premier terme est a = 2, la raison est r = 3, et les exposants vont de 0 à 9, donc il y a n = 10 termes.

Étape 2. Appliquer S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.

S_{10} = \frac{2(1 - 3^{10})}{1 - 3} = \frac{2(1 - 59{,}049)}{-2} = 59{,}048

Le principal piège ici est de bien compter les termes : de 3^0 à 3^9, il y a dix termes, pas neuf.

Les nombres décimaux périodiques comme séries géométriques

Tout nombre décimal périodique est en réalité une série géométrique, et c'est pourquoi tout décimal périodique est une fraction.

Exemple corrigé 4 : 0,272727...

0.\overline{27} = \frac{27}{100} + \frac{27}{10{,}000} + \frac{27}{1{,}000{,}000} + \cdots

Ici a = \frac{27}{100} et r = \frac{1}{100}, donc

0.\overline{27} = \frac{27/100}{1 - 1/100} = \frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

Exemple corrigé 5 : 0,999... est égal à 1

0.\overline{9} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1

Ce n'est pas une approximation. Le développement décimal illimité et 1 sont le même nombre.

Exemple corrigé 6 : un décimal dont la période commence plus loin

Écrivez 1.2\overline{3} = 1.2333\ldots sous forme de fraction.

Séparez la partie non périodique : 1.2333\ldots = 1.2 + 0.0333\ldots. La partie périodique est géométrique avec a = \frac{3}{100} et r = \frac{1}{10} :

0.0\overline{3} = \frac{3/100}{1 - 1/10} = \frac{3/100}{9/10} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}

Donc 1.2\overline{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}.

Un exemple concret : la balle qui rebondit

On lâche une balle de 10 mètres de haut, et chaque rebond atteint \frac34 de la hauteur précédente. Quelle distance parcourt-elle au total ?

Étape 1. La première chute fait 10 mètres.

Étape 2. Les rebonds. La balle remonte à 7.5 m, puis 5.625 m, et ainsi de suite : une série géométrique avec a = 7.5 et r = \frac34. Leur somme vaut \frac{7.5}{1 - 3/4} = 30 mètres.

Étape 3. Compter chaque rebond deux fois, une fois en montant et une fois en descendant : 2 \cdot 30 = 60 mètres.

Étape 4. Total : 10 + 60 = 70 mètres, alors que la balle rebondit une infinité de fois.

Des séries géométriques aux séries entières

Remplacez la raison par une variable, et la formule de la somme devient un énoncé sur des fonctions :

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad \text{pour } |x| < 1

Cette seule identité est le germe des séries entières. Remplacez x par -x et vous obtenez \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots. Remplacez-le par -x^2 et vous obtenez \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots, qui s'intègre terme à terme en la série de \arctan x. La condition |x| < 1 vient directement de |r| < 1, et c'est le premier exemple d'intervalle de convergence.

Les erreurs fréquentes sur les séries géométriques

  1. Utiliser le mauvais premier terme. Quand la somme commence à n = 1 ou plus, a est le premier terme réellement ajouté, pas le coefficient placé devant.
  2. Appliquer la formule quand |r| \ge 1. La formule ne marche que pour les séries convergentes. Une « somme » négative de termes positifs doit vous alerter.
  3. Mal lire la raison. Dans \frac{2^n}{3^{n+1}}, la raison est \frac23, et non \frac{2}{3^{n+1}}. Réécrivez d'abord les termes sous la forme a\cdot r^n.
  4. Oublier le signe dans 1 - r. Avec r = -\frac23, le dénominateur vaut 1 + \frac23.
  5. Confondre la suite et la série. Les termes \left(\frac12\right)^n tendent vers 0. Leur somme tend vers 2.

Aide-mémoire

Grandeur Formule
Terme général ar^n (à partir de n = 0)
Raison r = \frac{\text{terme}_{n+1}}{\text{terme}_n}
n-ième somme partielle S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
Somme infinie, \lvert r\rvert < 1 \frac{a}{1-r}
Diverge quand \lvert r\rvert \ge 1

Entraînez-vous jusqu'à ce que la formule soit automatique

Les séries géométriques reviennent sans cesse : dans le critère de d'Alembert, dans les raisonnements par comparaison et comme point de départ des séries entières. Trouver rapidement a et r vous servira pendant tout le reste du cours. La leçon interactive ci-dessous vous donne un retour immédiat à chaque étape, pour qu'un mauvais premier terme ou une erreur de signe soit repéré tout de suite.

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Questions fréquentes

Quelle est la formule de la somme d'une série géométrique ?
Si le premier terme est a et la raison r vérifie |r| < 1, la somme infinie vaut \frac{a}{1-r}. Pour un nombre fini de termes, la somme des n premiers termes vaut \frac{a(1-r^n)}{1-r}.

Comment savoir si une série géométrique converge ?
Trouvez la raison r en divisant un terme quelconque par le précédent. La série converge si |r| < 1 et diverge si |r| \ge 1. Il n'y a pas d'autre cas, ce qui fait des séries géométriques les séries les plus faciles à classer.

Pourquoi 0,999... est-il égal à 1 ?
Écrivez 0.999\ldots sous la forme \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots, une série géométrique avec a = \frac{9}{10} et r = \frac{1}{10}. Sa somme vaut \frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1. Le développement décimal illimité vaut exactement 1, et pas seulement environ 1.

Quelle est la différence entre une suite géométrique et une série géométrique ?
Une suite géométrique est une liste de nombres comme 1, \frac12, \frac14, \frac18, \ldots, où chaque terme est le précédent multiplié par r. Une série géométrique est la somme de ces termes, 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots, qui vaut ici 2.

Comment trouver le premier terme quand la somme commence à n = 1 ?
Remplacez l'indice de départ dans la formule des termes. Pour \sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n, le premier terme est 3\cdot\frac25 = \frac65, et non 3. Utiliser le mauvais premier terme est l'erreur la plus fréquente avec la formule de la somme.

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