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Applications de la dérivée

Taux de variation liés : exercices corrigés avec solutions

10 problèmes corrigés de taux de variation liés : ballons, échelles, cônes, ombres, voitures et angles, chacun avec une mise en équation claire.

Applications de la dérivée Mis à jour Lecture : 6 min

En bref

x^2 + y^2 = z^2 \;\Rightarrow\; 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt}
Exercices
10 problèmes concrets, avec réponses et solutions complètes
Niveau
Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 4
Prérequis
La dérivation implicite et les formules de géométrie de base
Idée principale
Écrire une équation qui relie les grandeurs, la dériver par rapport à t, puis remplacer par les valeurs numériques
S'entraîner avec de nouveaux nombres
Leçon sur les taux de variation liés
Sur cette page
  1. Exercices
  2. Réponses
  3. Solutions détaillées
  4. Erreurs fréquentes sur ces exercices
  5. Continuer à s'entraîner

Ces exercices sur les taux de variation liés décrivent chacun une situation où deux grandeurs ou plus varient ensemble. Vous savez à quelle vitesse l'une varie et vous cherchez le taux de variation d'une autre. Faites chaque mise en équation avant de vérifier. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes.

Chaque problème suit les mêmes cinq étapes :

  1. Faire un schéma et nommer les grandeurs qui varient.
  2. Écrire le taux connu et le taux cherché, avec leurs unités et leurs signes.
  3. Écrire une équation qui relie les grandeurs.
  4. Dériver les deux membres par rapport à t.
  5. Remplacer par les valeurs à l'instant donné et résoudre.

Pour en savoir plus sur la méthode, lisez le guide des taux de variation liés.

Exercices

Formules de géométrie

  1. Ronds dans l'eau. Une pierre tombe dans un étang et forme une onde circulaire. Le rayon augmente de 3 cm/s. À quelle vitesse l'aire intérieure à l'onde augmente-t-elle quand le rayon vaut 10 cm ?
  2. Ballon. On gonfle un ballon sphérique à raison de 100 cm³/s. À quelle vitesse le rayon augmente-t-il quand il vaut 5 cm ?
  3. Cube qui grandit. Les arêtes d'un cube augmentent de 0.5 cm/s. À quelle vitesse le volume augmente-t-il quand chaque arête mesure 4 cm ?

Triangles rectangles

  1. Échelle qui glisse. Une échelle de 10 ft est appuyée contre un mur. On tire le pied de l'échelle en l'éloignant du mur à 2 ft/s. À quelle vitesse le haut glisse-t-il le long du mur quand le pied est à 6 ft du mur ?
  2. Angle de l'échelle. Dans l'exercice 4, à quelle vitesse l'angle entre l'échelle et le sol varie-t-il au même instant ?
  3. Deux voitures. La voiture A quitte un carrefour vers le nord à 60 mph. Au même moment, la voiture B part vers l'est à 45 mph. À quelle vitesse la distance qui les sépare augmente-t-elle au bout de 2 heures ?
  4. Montgolfière et observateur. Une montgolfière monte verticalement à 4 m/s. Un observateur se trouve à 300 m du point de décollage. À quelle vitesse l'angle d'élévation entre l'observateur et la montgolfière varie-t-il quand celle-ci est à 400 m de haut ?

Triangles semblables et courbes

  1. Remplir un cône. Un réservoir a la forme d'un cône pointe en bas. Il mesure 12 ft de haut et 4 ft de rayon en haut. L'eau y entre à 9 ft³/min. À quelle vitesse le niveau de l'eau monte-t-il quand l'eau a 6 ft de profondeur ?
  2. Ombre. Une personne de 6 ft s'éloigne d'un lampadaire de 15 ft à 5 ft/s. À quelle vitesse la longueur de son ombre augmente-t-elle ?
  3. Point mobile. Un point se déplace sur la courbe y = x^2 de sorte que son abscisse x augmente de 3 unités/s. À quelle vitesse sa distance à l'origine varie-t-elle quand le point est en (2, 4) ?

Réponses

Exercice Réponse
1 60\pi \approx 188.5 cm²/s
2 \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318 cm/s
3 24 cm³/s
4 Le haut glisse vers le bas à 1.5 ft/s (\frac{dy}{dt} = -1.5)
5 -\dfrac{1}{4} rad/s (l'angle diminue de 0.25 rad/s)
6 75 mph
7 0.0048 rad/s
8 \dfrac{9}{4\pi} \approx 0.716 ft/min
9 \dfrac{10}{3} \approx 3.33 ft/s
10 \dfrac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07 unités/s

Solutions détaillées

1. Connu : \frac{dr}{dt} = 3. Cherché : \frac{dA}{dt} quand r = 10. L'aire d'un disque est A = \pi r^2. Dérivez par rapport à t :

\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} = 2\pi(10)(3) = 60\pi \approx 188.5 \text{ cm}^2/\text{s}

2. Connu : \frac{dV}{dt} = 100. Cherché : \frac{dr}{dt} quand r = 5. Le volume est V = \frac{4}{3}\pi r^3 :

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad 100 = 4\pi(25)\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.318 \text{ cm/s}

3. Connu : \frac{ds}{dt} = 0.5. Cherché : \frac{dV}{dt} quand s = 4. Le volume est V = s^3 :

\frac{dV}{dt} = 3s^2\frac{ds}{dt} = 3(16)(0.5) = 24 \text{ cm}^3/\text{s}

4. Soit x la distance du mur au pied de l'échelle et y la hauteur du haut de l'échelle. Connu : \frac{dx}{dt} = 2. Cherché : \frac{dy}{dt} quand x = 6. La longueur de l'échelle est fixe :

x^2 + y^2 = 100

Quand x = 6, y = \sqrt{100 - 36} = 8. Dérivez :

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt} = -\frac{6}{8}(2) = -1.5 \text{ ft/s}

Le signe moins signifie que le haut descend.

5. Soit \theta l'angle au sol. Alors \cos\theta = \frac{x}{10}. Dérivez :

-\sin\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{10}\frac{dx}{dt}

À cet instant, \sin\theta = \frac{y}{10} = \frac{8}{10}, donc

-\frac{8}{10}\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{4} \text{ rad/s}

L'angle diminue à mesure que l'échelle glisse.

6. Soit y la distance parcourue vers le nord par la voiture A, x celle parcourue vers l'est par la voiture B et z la distance qui les sépare. Au bout de 2 heures, y = 120, x = 90 et z = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150. À partir de x^2 + y^2 = z^2 :

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt} = \frac{90(45) + 120(60)}{150} = \frac{11250}{150} = 75 \text{ mph}

7. Soit h l'altitude et \theta l'angle d'élévation. Connu : \frac{dh}{dt} = 4. L'observateur est à 300 m, donc \tan\theta = \frac{h}{300}. Dérivez :

\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{300}\frac{dh}{dt}

Quand h = 400, la ligne de visée mesure \sqrt{300^2 + 400^2} = 500 m, donc \cos\theta = \frac{3}{5} et \sec^2\theta = \frac{25}{9} :

\frac{d\theta}{dt} = \frac{9}{25}\cdot\frac{4}{300} = 0.0048 \text{ rad/s}

8. Soit h la profondeur de l'eau et r le rayon de la surface de l'eau. Connu : \frac{dV}{dt} = 9. Cherché : \frac{dh}{dt} quand h = 6. Par triangles semblables, \frac{r}{h} = \frac{4}{12}, donc r = \frac{h}{3}. Remplacez dans le volume du cône pour éliminer r :

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}

Dérivez et remplacez h = 6 :

\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad 9 = \frac{36\pi}{9}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt} = \frac{9}{4\pi} \approx 0.716 \text{ ft/min}

9. Soit x la distance entre la personne et le lampadaire, et s la longueur de l'ombre. Connu : \frac{dx}{dt} = 5. Le lampadaire, la personne et l'extrémité de l'ombre forment deux triangles semblables :

\frac{15}{x + s} = \frac{6}{s} \quad\Rightarrow\quad 15s = 6x + 6s \quad\Rightarrow\quad s = \frac{2}{3}x

Dérivez :

\frac{ds}{dt} = \frac{2}{3}\cdot 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ ft/s}

La réponse ne dépend pas de la position de la personne. L'extrémité de l'ombre se déplace à 5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3} ft/s.

10. Soit D la distance à l'origine. Comme y = x^2 :

D^2 = x^2 + y^2 = x^2 + x^4

Dérivez par rapport à t :

2D\frac{dD}{dt} = (2x + 4x^3)\frac{dx}{dt}

En (2, 4), D = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, et \frac{dx}{dt} = 3 :

\frac{dD}{dt} = \frac{(4 + 32)(3)}{2\sqrt{20}} = \frac{108}{2\sqrt{20}} = \frac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07 \text{ unités/s}

Erreurs fréquentes sur ces exercices

  • Remplacer par les valeurs trop tôt. Dans l'exercice 4, écrire 36 + y^2 = 100 avant de dériver fait de x une constante et le taux disparaît.
  • Ignorer le signe. Dans l'exercice 4, la réponse est négative. Dire « le haut se déplace à 1,5 ft/s » est acceptable, mais vous devez savoir dans quel sens.
  • Garder à la fois r et h dans le cône. Dans l'exercice 8, utilisez les triangles semblables pour écrire r en fonction de h avant de dériver.
  • Travailler en degrés. Dans les exercices 5 et 7, les taux s'expriment en radians par seconde, car les dérivées trigonométriques ne sont valables qu'en radians.

Continuer à s'entraîner

Ces 10 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres et une correction immédiate à chaque étape, essayez la leçon sur les taux de variation liés, puis l'entraînement mixte sur les applications. L'autre grand type de problème concret est l'optimisation : entraînez-vous avec les exercices d'optimisation.

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Taux de variation liés

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Questions fréquentes

Comment résoudre un problème de taux de variation liés ?
Faites un schéma et nommez chaque grandeur qui varie. Notez le taux connu et le taux cherché. Trouvez une équation qui relie les grandeurs, dérivez les deux membres par rapport au temps t, puis remplacez par les valeurs à l'instant considéré et résolvez.

Pourquoi ne pas remplacer par les valeurs avant de dériver ?
Parce que ces valeurs ne sont valables qu'à un instant précis. Si vous remplacez une grandeur variable par un nombre avant de dériver, sa dérivée devient 0 et vous perdez le taux. Seules les grandeurs fixes, comme la longueur d'une échelle, peuvent être remplacées dès le début.

Pourquoi la réponse du problème de l'échelle est-elle négative ?
Le haut de l'échelle descend, donc sa hauteur y diminue et \frac{dy}{dt} < 0. En mots, la réponse est « glisse vers le bas à 1,5 ft/s », et c'est le signe moins qui indique le sens.

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