L'intégrale de chaque fonction usuelle

Intégrale d'une constante \int k\,dx = kx + C L'intégrale d'une constante k vaut kx + C et celle de 1 vaut x + C. Pourquoi, l'image du rectangle, les intégrales définies et les erreurs à éviter. Intégrale de x \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C L'intégrale de x vaut x²/2 + C. Pourquoi, avec la règle de la puissance inverse et un triangle, plus les intégrales définies, la forme ax + b et les erreurs. Intégrale de x² \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C L'intégrale de x² vaut x³/3 + C. Règle de la puissance inverse, preuve par les sommes de Riemann, intégrales définies, forme (ax + b)² et erreurs. Intégrale de √x \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C L'intégrale de √x vaut (2/3)x^(3/2) + C. Écrire la racine comme une puissance, vérifier en dérivant, et des exemples avec √(ax + b), 1/√x et des bornes. Intégrale de 1/x \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C L'intégrale de 1/x vaut ln|x| + C. Pourquoi la règle de la puissance échoue ici, d'où vient la valeur absolue, et comment traiter 1/(ax + b) et f'/f. Intégrale de 1/x² \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C L'intégrale de 1/x² vaut -1/x + C. L'écrire x^(-2), vérifier en dérivant, et des intégrales impropres comme de 1 à l'infini et le piège classique de -1 à 1. Intégrale de |x| \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C L'intégrale de |x| vaut x|x|/2 + C. Comment couper en zéro, pourquoi le résultat n'est pas |x²/2|, et le calcul d'intégrales comme |x - 1| entre 0 et 4. Intégrale de x/(x² + 1) \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C L'intégrale de x/(x² + 1) vaut ½ ln(x² + 1) + C. Le changement de variable pas à pas, pourquoi la valeur absolue est inutile, et 1/(x² + 1). Intégrale de 1/(x² - 1) \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C L'intégrale de 1/(x² - 1) vaut ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. La décomposition en éléments simples, la formule générale 1/(x² - a²) et des exemples.

Intégrale de sin x \int \sin x\,dx = -\cos x + C L'intégrale de sin x vaut -cos x + C. D'où vient le signe moins, l'aire d'une arche, sin(ax + b) par changement de variable et des intégrales définies. Intégrale de cos x \int \cos x\,dx = \sin x + C L'intégrale de cos x vaut sin x + C. Pourquoi il n'y a pas de signe moins, l'aire d'une bosse, cos(ax + b) par changement de variable et des exemples. Intégrale de tan x \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C L'intégrale de tan x vaut -ln|cos x| + C, ou ln|sec x| + C. Le changement de variable u = cos x, pourquoi les deux formes coïncident, et des exemples. Intégrale de sec x \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C L'intégrale de sec x = 1/cos x vaut ln|sec x + tan x| + C. L'astuce de la multiplication par un, les formes équivalentes, la vérification et des exemples. Intégrale de csc x \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C L'intégrale de csc x = 1/sin x vaut -ln|csc x + cot x| + C, ou ln|tan(x/2)| + C. La démonstration, pourquoi les formes coïncident et des exemples. Intégrale de cotan x \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C L'intégrale de cotan x vaut ln|sin x| + C. Le changement de variable u = sin x, le lien avec tan x, puis cotan(ax), cotan² x et des intégrales définies. Intégrale de sec² x \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C L'intégrale de sec² x = 1/cos² x vaut tan x + C. Pourquoi cela découle de la dérivée de tan x, la forme sec²(ax), tan² x, csc² x et des exemples. Intégrale de sin² x \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C L'intégrale de sin² x vaut x/2 - sin(2x)/4 + C. La linéarisation pas à pas, la vérification par dérivation, sin²(ax) et des intégrales définies. Intégrale de cos² x \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C L'intégrale de cos² x vaut x/2 + sin(2x)/4 + C. La linéarisation, la vérification, cos²(ax) et le calcul de l'aire d'un disque. Intégrale de tan² x \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C L'intégrale de tan² x vaut tan x - x + C. Comment l'identité tan² x = sec² x - 1 fait tout le travail, puis tan²(ax), tan³ x et des intégrales définies. Intégrale de sec³ x \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C L'intégrale de sec³ x vaut ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. La boucle d'intégration par parties pas à pas, la vérification et la longueur d'arc. Intégrale de sec x tan x \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C L'intégrale de sec x tan x vaut sec x + C, soit 1/cos x + C. Pourquoi elle inverse la dérivée de sec x, la forme sin x/cos² x, et des exemples. Intégrale de sin 2x \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C L'intégrale de sin 2x vaut -cos(2x)/2 + C. Le changement de variable, pourquoi sin² x + C et -cos² x + C sont aussi corrects, et des intégrales définies.

Intégrale de 1/(1+x²) \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C L'intégrale de 1/(1+x²) vaut arctan x + C. Pourquoi, avec un changement de variable x = tan θ, la version 1/(a²+x²), un graphique et des exemples. Intégrale de 1/√(1−x²) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C L'intégrale de 1/√(1−x²) vaut arcsin x + C. Le changement de variable x = sin θ, la version 1/√(a²−x²), un graphique, des intégrales définies et des exemples. Intégrale de √(1−x²) \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C L'intégrale de √(1−x²) vaut ½(x√(1−x²) + arcsin x) + C. Le changement de variable trigonométrique, le lien avec l'aire d'un disque et des exemples. Intégrale de arctan x \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C L'intégrale de arctan x vaut x arctan x − ½ ln(1+x²) + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, des intégrales définies et des exemples. Intégrale de arcsin x \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C L'intégrale de arcsin x vaut x arcsin x + √(1−x²) + C. L'intégration par parties pas à pas, la version arccos, un graphique et des exemples corrigés.

Intégrale de eˣ \int e^x\,dx = e^x + C L'intégrale de eˣ vaut eˣ + C. Pourquoi eˣ est sa propre primitive, un graphique de l'aire, des intégrales définies et impropres, et des exemples corrigés. Intégrale de e²ˣ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C L'intégrale de e^(2x) vaut ½e^(2x) + C, et plus généralement ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. Le changement de variable, un graphique et des exemples. Intégrale de e⁻ˣ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C L'intégrale de e^(−x) vaut −e^(−x) + C. Le changement de variable, pourquoi l'aire de 0 à l'infini vaut 1, un graphique et des exemples comme x e^(−x). Intégrale de e^(x²) \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C e^(x²) et e^(−x²) n'ont pas de primitive élémentaire. Les fonctions erf et erfi, la solution en série entière et pourquoi ∫e^(−x²) sur ℝ vaut √π. Intégrale de 2ˣ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C L'intégrale de 2ˣ vaut 2ˣ/ln 2 + C, et ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. La démonstration à partir de e^(x ln a), un graphique, des intégrales définies et des exemples. Intégrale de ln x \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C L'intégrale de ln x vaut x ln x − x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique et des exemples comme ln(2x) et (ln x)². Intégrale de 1/(x ln x) \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C L'intégrale de 1/(x ln x) vaut ln|ln x| + C. Le changement de variable u = ln x, pourquoi l'intégrale impropre diverge, un graphique et des exemples.

Intégrale de x eˣ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C L'intégrale de x eˣ vaut (x − 1)eˣ + C. L'intégration par parties pas à pas, pourquoi u = x est le bon choix, un graphique et des exemples comme x e^(2x). Intégrale de x ln x \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C L'intégrale de x ln x vaut (x²/2) ln x − x²/4 + C. L'intégration par parties avec u = ln x, la vérification, un graphique et la formule pour xⁿ ln x. Intégrale de x sin x \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C L'intégrale de x sin x vaut sin x − x cos x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique et des exemples comme x² sin x. Intégrale de x cos x \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C L'intégrale de x cos x vaut x sin x + cos x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique, des intégrales définies et x² cos x. Intégrale de eˣ sin x \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C L'intégrale de eˣ sin x vaut ½eˣ(sin x − cos x) + C. L'astuce de la double intégration par parties, la vérification, un graphique et e^(ax) sin(bx). Intégrale de x² eˣ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C L'intégrale de x² eˣ vaut (x² − 2x + 2)eˣ + C. Deux intégrations par parties, la méthode du tableau, la vérification, un graphique et le cas xⁿ eˣ.