La dérivée de chaque fonction usuelle

Dérivée de x \frac{d}{dx}\,x = 1 La dérivée de x vaut 1. Démonstration par la limite et la règle de la puissance, puis dérivées de 5x, ax + b et de x par rapport à une autre variable. Dérivée de x² \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x La dérivée de x² est 2x. Démonstration par la limite, version composée pour u², courbe, tangentes et exemples corrigés comme (3x + 1)². Dérivée de √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} La dérivée de √x est 1/(2√x). Démonstrations par la puissance et la limite, version composée pour √u, le problème en x = 0 et exemples comme √(x² + 1). Dérivée de ∛x \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} La dérivée de la racine cubique de x est 1/(3∛(x²)). Démonstrations par la puissance et la limite, tangente verticale en 0 et exemples composés. Dérivée de 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} La dérivée de 1/x est -1/x². Démonstration par la limite, règle de la puissance avec x⁻¹, version composée pour 1/u et exemples comme 1/(2x + 5). Dérivée de 1/x² \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} La dérivée de 1/x² est -2/x³. Démonstrations par la puissance et le quotient, version composée pour 1/u², courbe et exemples comme 1/(3x - 2)². Dérivée de |x| \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} La dérivée de |x| est x/|x| : 1 pour x > 0, -1 pour x < 0, et elle n'existe pas en 0. Démonstration, point anguleux en 0 et version composée pour |u|. Dérivée d'une constante \frac{d}{dx}\,c = 0 La dérivée d'une constante vaut 0. Démonstration par la limite, puis cas pièges comme π², e³, ln 5 et les constantes multipliées par une fonction.

Dérivée de sin x \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x La dérivée de sin x est cos x. Démonstration par la limite, version composée pour sin(u), courbe et exemples corrigés comme sin(3x) et x sin x. Dérivée de cos x \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x La dérivée de cos x est -sin x. Démonstration par la limite, preuve rapide à partir de sin x, version composée pour cos(u) et exemples comme cos(5x). Dérivée de tan x \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x La dérivée de tan x est sec²x, soit 1 + tan²x. Démonstration par le quotient, version composée pour tan(u) et exemples comme tan(4x) et tan²x. Dérivée de sec x \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x La dérivée de sec x est sec x tan x. Démonstration à partir de 1/cos x, version composée pour sec(u), courbe et exemples comme sec(2x) et x sec x. Dérivée de csc x \frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x La dérivée de csc x est -csc x cot x. Démonstration à partir de 1/sin x, version composée pour csc(u), courbe et exemples corrigés comme csc(3x). Dérivée de cot x \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x La dérivée de cot x est -csc²x. Démonstration par le quotient, la forme -(1 + cot²x), version composée pour cot(u) et exemples comme cot(2x). Dérivée de sec²x \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x La dérivée de sec²x est 2sec²x tan x. Deux démonstrations, l'une par la dérivation en chaîne, l'autre avec 1 + tan²x, et des exemples comme sec²(3x). Dérivée de sin²x \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x La dérivée de sin²x est 2 sin x cos x, soit sin 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification par la formule de duplication et exemples. Dérivée de cos²x \frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x La dérivée de cos²x est -2 sin x cos x, soit -sin 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification par une identité et exemples comme cos²(4x). Dérivée de sin 2x \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x La dérivée de sin 2x est 2cos 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification avec 2 sin x cos x, règle générale pour sin(ax) et exemples. Dérivée de sin(x²) \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) La dérivée de sin(x²) est 2x cos(x²). La dérivation en chaîne pas à pas, la différence avec sin²x, la dérivée seconde et des exemples corrigés.

Dérivée de arcsin x \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} La dérivée de arcsin x est 1/√(1 − x²). Démonstration à partir de sin y = x, version composée pour arcsin(u), courbe et exemples corrigés. Dérivée de arccos x \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} La dérivée de arccos x est −1/√(1 − x²). Démonstration, lien avec la dérivée de arcsin, exemples de dérivation en chaîne et courbe. Dérivée de arctan x \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} La dérivée de arctan x est 1/(1 + x²). Démonstration à partir de tan y = x, exemples composés comme arctan(2x) et arctan(x²), et courbe. Dérivée de arcsec x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} La dérivée de arcsec x est 1/(|x|√(x² − 1)). D'où vient la valeur absolue, démonstration via arccos(1/x) et exemples de dérivation en chaîne. Dérivée de arccot x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} La dérivée de arccot x est −1/(1 + x²). Démonstration à partir de cot y = x, lien avec arctan, exemples de dérivation en chaîne et courbe.

Dérivée de ln x \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} La dérivée de ln x est 1/x. Démonstration à partir de eʸ = x, version composée pour ln(u), courbe et exemples corrigés comme ln(2x) et ln(x²+1). Dérivée de e^x \frac{d}{dx}\,e^x = e^x La dérivée de eˣ est eˣ. Démonstration par la limite, version composée pour e^u, courbe et exemples corrigés comme e^(3x) et x²eˣ. Dérivée de e^(2x) \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} La dérivée de e^(2x) est 2e^(2x). Les étapes de la dérivation en chaîne, une seconde preuve avec (eˣ)², les dérivées successives, la courbe et des exemples. Dérivée de e^(−x) \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} La dérivée de e^(−x) est −e^(−x). Étapes de la dérivation en chaîne, vérification par le quotient, dérivées successives, courbe et exemples comme xe^(−x). Dérivée de e^(x²) \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} La dérivée de e^(x²) est 2x·e^(x²). Étapes de la dérivation en chaîne, dérivée seconde, différence avec (eˣ)² et exemples comme e^(−x²). Dérivée de 2^x \frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 La dérivée de 2ˣ est 2ˣ ln 2, et celle de aˣ est aˣ ln a. Démonstration en écrivant aˣ = e^(x ln a), exemples composés et courbe. Dérivée de log x \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} La dérivée de log₁₀ x est 1/(x ln 10), et celle de log_b x est 1/(x ln b). Démonstration par changement de base, exemples composés et courbe. Dérivée de ln(2x) \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} La dérivée de ln(2x) est 1/x, comme pour ln x. Deux démonstrations, une courbe qui montre pourquoi les pentes coïncident, et le cas différent de ln(2x + 1). Dérivée de ln(x²) \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} La dérivée de ln(x²) est 2/x, alors que celle de (ln x)² est 2 ln x / x. Les deux démonstrations, une courbe et comment les distinguer. Dérivée de x ln x \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 La dérivée de x ln x est ln x + 1. Étapes avec la règle du produit, minimum en x = 1/e, dérivée seconde, courbe et exemples similaires. Dérivée de x e^x \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) La dérivée de xeˣ est eˣ(x + 1). Étapes avec la règle du produit, minimum en x = −1, formule de la dérivée n-ième, courbe et exemples corrigés. Dérivée de x^x \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) La dérivée de xˣ est xˣ(ln x + 1). Deux méthodes, la dérivation logarithmique et l'écriture e^(x ln x), avec une courbe et des exemples. Dérivée de ln(cos x) \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x La dérivée de ln(cos x) est −tan x. Étapes de la dérivation en chaîne, lien avec l'intégrale de tan x, courbe, et les cas ln(sin x) et ln(sec x).

Dérivée de sinh x \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x La dérivée de sinh x (sh x) est cosh x. Démonstration à partir des exponentielles, pourquoi il n'y a pas de signe moins, exemples composés et courbe. Dérivée de cosh x \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x La dérivée de cosh x (ch x) est sinh x, sans signe moins. Démonstration par les exponentielles, la chaînette, exemples composés et courbe. Dérivée de tanh x \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x La dérivée de tanh x (th x) est sech² x, soit 1 − tanh² x. Démonstration par le quotient, exemples composés, courbe et dérivée de artanh.