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Dérivation implicite : exercices corrigés avec réponses

12 exercices corrigés de dérivation implicite avec solutions détaillées : cercles, produits, trigonométrie, exponentielles, tangentes et y''.

Dérivées Mis à jour Lecture : 4 min

En bref

\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
Exercices
12, avec réponses et solutions détaillées
Niveau
Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 3
Prérequis
La dérivation en chaîne et la règle du produit
Idée clé
Dériver les deux membres par rapport à x, associer dy/dx à chaque terme en y, puis isoler dy/dx
S''entraîner avec de nouvelles valeurs
Leçon sur la dérivation implicite
Sur cette page
  1. Exercices
  2. Réponses
  3. Solutions détaillées
  4. Erreurs fréquentes sur ces exercices
  5. Continuer à s'entraîner

Ces exercices sur la dérivation implicite commencent par des cercles et des produits simples, ajoutent la trigonométrie et les exponentielles, et se terminent par des tangentes, des tangentes horizontales et une dérivée seconde. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Le point clé : comme y dépend de x, la dérivation en chaîne donne

\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}

Ainsi \frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx} et \frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}. Dans la suite, y' désigne \frac{dy}{dx}. Pour un rappel, consultez la règle de dérivation implicite ou le guide de la dérivation implicite.

Exercices

Calculer dy/dx

  1. x^2 + y^2 = 25
  2. xy = 8
  3. \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5
  4. x^2 + xy + y^2 = 7
  5. x^3 + y^3 = 6xy

Trigonométrie et exponentielles

  1. \tan y = x
  2. e^y = x^2 + y
  3. \cos(xy) = y

Tangentes et dérivées secondes

  1. Trouvez la tangente à x^2 + y^2 = 25 au point (3, -4).
  2. Trouvez la tangente à x^2 + xy + y^2 = 7 au point (1, 2).
  3. Trouvez les points où x^2 + xy + y^2 = 7 admet une tangente horizontale.
  4. Calculez y'' pour x^2 + y^2 = 25, en fonction de y seulement.

Réponses

Exercice Réponse
1 -\dfrac{x}{y}
2 -\dfrac{y}{x}
3 -\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}
4 -\dfrac{2x + y}{x + 2y}
5 \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}
6 \dfrac{1}{1 + x^2}
7 \dfrac{2x}{e^y - 1}
8 -\dfrac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}
9 y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{25}{4}
10 y = -\dfrac{4}{5}x + \dfrac{14}{5}
11 \left(\dfrac{\sqrt{21}}{3}, -\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right) et \left(-\dfrac{\sqrt{21}}{3}, \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right)
12 -\dfrac{25}{y^3}

Solutions détaillées

1. Dérivez les deux membres. Le membre de droite est une constante :

2x + 2y\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{x}{y}

2. Le membre de gauche est un produit, donc utilisez la règle du produit :

1\cdot y + x\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y}{x}

3. Écrivez les racines comme des puissances \frac{1}{2} :

\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{2\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}

4. Le terme du milieu demande la règle du produit :

2x + (y + x\,y') + 2y\,y' = 0

Regroupez les termes en y' : y'(x + 2y) = -(2x + y), donc

y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}

5. Le membre de droite 6xy demande la règle du produit :

3x^2 + 3y^2\,y' = 6y + 6x\,y'

Passez les termes en y' à gauche et le reste à droite : y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2. Divisez par 3 :

y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}

6. Dérivez les deux membres : \sec^2 y\cdot y' = 1, donc y' = \frac{1}{\sec^2 y}. Utilisez \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2 :

y' = \frac{1}{1 + x^2}

C'est exactement ainsi qu'on démontre la dérivée de arctan x, puisque \tan y = x signifie y = \arctan x.

7. Dérivez : e^y\,y' = 2x + y'. Regroupez les y' :

y'(e^y - 1) = 2x \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{2x}{e^y - 1}

8. Le membre de gauche est une dérivation en chaîne avec un produit à l'intérieur :

-\sin(xy)\cdot(y + x\,y') = y'

Développez : -y\sin(xy) - x\sin(xy)\,y' = y'. Regroupez les y' à droite :

-y\sin(xy) = y'\big(1 + x\sin(xy)\big) \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}

9. D'après l'exercice 1, y' = -\frac{x}{y}. Au point (3, -4), la pente vaut -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} :

y + 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{4}x - \frac{25}{4}

10. Vérifiez d'abord le point : 1 + 2 + 4 = 7. D'après l'exercice 4, la pente en (1, 2) est

y' = -\frac{2(1) + 2}{1 + 2(2)} = -\frac{4}{5}
y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{4}{5}x + \frac{14}{5}

11. Une tangente horizontale exige y' = 0, donc le numérateur de la réponse de l'exercice 4 doit être nul : 2x + y = 0, soit y = -2x. Remplacez dans l'équation de la courbe :

x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 3x^2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{\tfrac{7}{3}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{3}

Puis y = -2x donne les deux points du tableau des réponses. En ces deux points, le dénominateur x + 2y = -3x n'est pas nul, donc la pente vaut bien 0.

12. Partez de y' = -\frac{x}{y} et utilisez la règle du quotient :

y'' = -\frac{1\cdot y - x\,y'}{y^2}

Remplacez y' = -\frac{x}{y} :

y'' = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}

Sur la courbe, x^2 + y^2 = 25, donc y'' = -\frac{25}{y^3}.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

  • Oublier y' sur les termes en y. \frac{d}{dx}y^2 vaut 2y\,y', pas 2y. Chaque terme en y doit porter ce facteur.
  • Traiter xy comme une seule variable. Dans l'exercice 2, \frac{d}{dx}(xy) demande la règle du produit, ce qui donne deux termes.
  • Donner une dérivée non nulle à la constante. Dans l'exercice 1, la dérivée de 25 est 0.
  • Ne pas remplacer y' dans une dérivée seconde. Dans l'exercice 12, remplacez y' par -\frac{x}{y} avant de simplifier.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles courbes et une correction immédiate, essayez la leçon sur la dérivation implicite. La dérivation implicite par rapport au temps est l'outil principal des exercices sur les taux de variation liés, et c'est elle qui permet de démontrer les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.

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Questions fréquentes

Quand utiliser la dérivation implicite ?
Utilisez-la quand y est mêlé à x et qu'on ne peut pas facilement isoler y, comme dans x^3 + y^3 = 6xy. Elle fonctionne aussi quand on pourrait isoler y, par exemple sur un cercle, et elle est souvent plus rapide.

Pourquoi multiplie-t-on par dy/dx en dérivation implicite ?
Parce que y est une fonction de x. Dériver y^2 par rapport à x est un problème de dérivation en chaîne : l'extérieur est un carré et l'intérieur est y, donc le résultat est 2y\cdot\frac{dy}{dx}.

Comment trouver une tangente avec la dérivation implicite ?
Calculez \frac{dy}{dx} de façon implicite, remplacez les deux coordonnées du point pour obtenir la pente, puis utilisez l'équation de la droite passant par un point. Les exercices 9 et 10 le montrent.

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