Règles sur les séries
Règles pour les sommes, les séries géométriques et la convergence.
Somme d'une série géométrique
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1
La somme d'une série géométrique : a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) si |r| < 1. Sommes partielles, condition de convergence et exemples corrigés.
Critère du terme général
\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge}
Le critère du terme général : si le terme général d'une série ne tend pas vers 0, la série diverge. Énoncé, limites du critère et exemples corrigés.
Critère de d'Alembert
L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert
Le critère de d'Alembert : on calcule L = lim |a(n+1)/a(n)|. Si L < 1 la série converge absolument, si L > 1 elle diverge, et si L = 1 on ne conclut pas.
Critère des séries alternées
b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge}
Le critère des séries alternées (critère de Leibniz) : si bₙ décroît vers 0, la série des (−1)ⁿbₙ converge. Conditions, majoration du reste et exemples.
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