Critère des séries alternées : conditions, majoration du reste

Le critère des séries alternées traite les séries dont les termes changent de signe, comme 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. Si la valeur absolue des termes diminue régulièrement jusqu'à zéro, les sommes partielles oscillent de plus en plus près d'une limite, et la série converge.

Le critère

Supposons b_n > 0 pour tout n. La série

converge si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. b_{n+1} \le b_n pour tout n (ou pour tout n à partir d'un certain rang), et
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Le résultat est le même pour \sum (-1)^n b_n, qui ne fait que changer tous les signes.

La majoration du reste

Si les conditions sont vérifiées et si S est la somme, la somme partielle S_N est à moins d'un terme de la valeur exacte :

De plus, S est toujours comprise entre deux sommes partielles consécutives. C'est la majoration du reste des séries alternées, qui rend ces séries faciles à approcher.

Pourquoi ça marche

Comme les b_n décroissent, chaque pas dépasse la limite de moins que le précédent. Les sommes partielles paires S_2, S_4, S_6, \ldots croissent, les impaires S_1, S_3, S_5, \ldots décroissent, et chaque somme paire reste inférieure à chaque somme impaire. Ces deux suites sont monotones et bornées, donc elles convergent, et comme S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0, elles ont la même limite (ce sont des suites adjacentes).

Exemples corrigés

Exemple 1 : la série harmonique alternée. Pour \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}, b_n = \frac{1}{n} est positive, décroissante et tend vers 0. La série converge (vers \ln 2). Comme \sum \frac{1}{n} diverge, la convergence est conditionnelle : la série est semi-convergente.

Exemple 2 : la condition de limite n'est pas vérifiée. Pour \sum (-1)^n \frac{n}{n+1}, b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0. Le critère des séries alternées ne s'applique pas, et le critère du terme général montre que la série diverge.

Exemple 3 : vérifier la décroissance avec une dérivée. Pour \sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n} (à partir de n = 2), posons f(x) = \frac{\ln x}{x}. Alors f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0 pour x > e, donc b_n décroît pour n \ge 3, et \frac{\ln n}{n} \to 0. La série converge.

Exemple 4 : approcher une somme. La série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots vérifie le critère. Quatre termes donnent

avec une erreur d'au plus b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083. La vraie somme est 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321, et l'erreur réelle vaut environ 0.0071.

Convergence absolue ou conditionnelle

Le critère prouve la convergence, mais ne dit rien de la convergence absolue. Étudiez \sum b_n séparément :

Le critère de d'Alembert donne L = 1 pour les trois : il ne permet de conclure pour aucune d'entre elles.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser le critère pour prouver la divergence. Si la condition de décroissance n'est pas vérifiée, cela ne veut pas dire que la série diverge. Seul b_n \not\to 0 le prouve, et c'est le critère du terme général.
2. Inclure le signe dans b_n. b_n est la valeur absolue du terme, sans le facteur (-1)^n.
3. Oublier de vérifier la décroissance. Elle est souvent vraie, mais doit être justifiée, parfois à l'aide d'une dérivée.
4. Dire qu'une série est absolument convergente parce qu'elle vérifie ce critère.

Pour comparer tous les critères de convergence et savoir lequel choisir, lisez le guide complet des critères de convergence.