Opérations sur les limites : somme, produit, quotient et puissance

Les opérations sur les limites sont les règles de calcul algébrique des limites. Elles affirment que si deux fonctions tendent chacune vers une limite finie, alors leur somme, leur différence, leur produit, leur quotient et leurs puissances tendent vers la combinaison correspondante de ces limites. Elles transforment une limite difficile en plusieurs limites faciles.

Les règles

Supposons que \lim_{x \to a} f(x) = L et \lim_{x \to a} g(x) = M, où L et M sont des nombres réels, et que c est une constante.

Une règle voisine traite les composées : si \lim_{x \to a} g(x) = M et si f est continue en M, alors \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(M). C'est pourquoi on peut faire passer une limite à l'intérieur de \sin, e^x, \ln ou d'une racine carrée, du moment que la limite intérieure tombe là où la fonction extérieure est continue.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un polynôme. On applique les règles de la somme, du produit par une constante et de la puissance, terme par terme :

Exemple 2 : un quotient. Le dénominateur tend vers 1 + 1 = 2 \ne 0, donc la règle du quotient s'applique :

Exemple 3 : combiner des limites données. Supposons que \lim_{x \to 4} f(x) = 3 et \lim_{x \to 4} g(x) = -2. Alors

Exemple 4 : quand la règle du quotient échoue. Pour \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, le dénominateur tend vers 0, donc la règle du quotient ne dit rien. On simplifie d'abord, puis on applique les règles à la nouvelle expression :

La simplification est permise car la limite n'utilise jamais la valeur en x = 3 elle-même.

Pourquoi la substitution directe découle de ces règles

Tout polynôme se construit à partir de constantes et de x par sommes, produits et puissances. En appliquant les règles étape par étape, on aboutit toujours au polynôme évalué en a. Ainsi, pour tout polynôme p :

Il en va de même pour une fonction rationnelle \frac{p(x)}{q(x)} dès que q(a) \ne 0. Ce raccourci s'appelle la substitution directe, et c'est la première chose à essayer pour toute limite.

Quand les règles ne s'appliquent pas

Les règles exigent que chaque limite intermédiaire existe et soit finie. Attention aux situations suivantes :

• Un dénominateur qui tend vers 0. Si le numérateur tend aussi vers 0, on obtient la forme indéterminée \frac{0}{0}. Factorisez, utilisez la quantité conjuguée ou la règle de L'Hôpital. Si le numérateur tend vers un nombre non nul, la limite est infinie ou n'existe pas.
• Une limite infinie. Les formes comme \infty - \infty, 0 \cdot \infty et \frac{\infty}{\infty} n'ont pas de valeur automatique. Consultez le guide sur les limites en l'infini.
• Une limite qui n'existe pas. Si \lim f(x) n'existe pas, on ne peut pas la séparer. Par exemple, \lim_{x \to 0} \left[\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{x}\right] = 0, alors que \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} n'existe pas.

Erreurs fréquentes

1. Appliquer la règle du quotient à \frac{0}{0}. Écrire \frac{0}{0} et s'arrêter, ou affirmer que le résultat vaut 0 ou 1, est faux. Cela signale qu'il faut poursuivre le calcul algébrique.
2. Séparer avant de vérifier l'existence. La règle de la somme exige que les deux limites existent. Vérifiez-le d'abord.
3. Oublier la condition sur la racine. \lim \sqrt{f(x)} exige que f(x) tende vers un nombre positif (ou vers 0 par valeurs positives) pour que la racine carrée ait un sens.
4. Faire passer une limite dans une fonction discontinue. La règle de composition exige que la fonction extérieure soit continue en la limite intérieure.

Pour une présentation complète de la factorisation, de la quantité conjuguée et des autres techniques, lisez le guide comment calculer une limite. Si les limites sont nouvelles pour vous, commencez par qu'est-ce qu'une limite.