Límites al infinito: comportamiento final y asíntotas horizontales

¿Qué le pasa a una función muy lejos en la gráfica, más allá del borde de la pantalla de tu calculadora? ¿Se estabiliza, se dispara hacia arriba o sigue oscilando? Los límites al infinito responden esa pregunta, y para las funciones racionales hay un conjunto sencillo de reglas que resuelve casi cualquier problema en segundos.

¿Qué es un límite al infinito?

Un límite al infinito describe el valor al que se acerca una función cuando x crece sin límite. Escribimos

para indicar que, cuando x es suficientemente grande, f(x) se mantiene tan cerca de L como quieras. De forma parecida, \lim_{x \to -\infty} f(x) describe lo que pasa cuando x se vuelve muy negativo.

Juntos, estos dos límites describen el comportamiento en los extremos de una función: lo que hace la gráfica en su extremo izquierdo y en su extremo derecho.

Hay tres resultados posibles:

• Las salidas se acercan a un número L. Entonces la recta y = L es una asíntota horizontal.
• Las salidas crecen sin límite, y escribimos \infty o -\infty.
• Las salidas nunca se estabilizan, como \sin x, que sigue oscilando. Entonces el límite no existe.

La pieza básica: 1 entre x elevado a una potencia

Todo lo que sigue se apoya en un solo hecho. Para cualquier potencia positiva p,

Dividir un número fijo entre un número enorme da algo diminuto. \frac{1}{1000} es pequeño, y \frac{1}{1000^2} es todavía más pequeño. Lo mismo vale cuando x \to -\infty, siempre que x^p esté definido ahí.

Más en general, \frac{c}{x^p} \to 0 para cualquier constante c. La estrategia para expresiones complicadas es reescribirlas de modo que cada pieza que sobre tenga la forma \frac{c}{x^p}.

El método: divide entre la mayor potencia del denominador

En una función racional, divide cada término del numerador y del denominador entre la mayor potencia de x que aparezca en el denominador. Luego deja que cada término \frac{c}{x^p} tienda a 0.

Ejemplo resuelto 1: grados iguales

Calcula \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}.

Paso 1. Encuentra la mayor potencia del denominador. Es x^2.

Paso 2. Divide cada término entre x^2.

Paso 3. Deja que los términos pequeños desaparezcan. Cuando x \to \infty, \frac{3}{x^2} \to 0 y \frac{1}{x^2} \to 0:

Los mismos pasos dan 2 cuando x \to -\infty, así que y = 2 es una asíntota horizontal en ambos extremos.

Ejemplo resuelto 2: denominador de mayor grado

Calcula \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 2}{x^2 + 1}.

Paso 1. La mayor potencia del denominador es x^2.

Paso 2. Divide cada término entre x^2.

Paso 3. Calcula el límite. El numerador tiende a 0 + 0 = 0 y el denominador a 1:

Así que y = 0 es una asíntota horizontal. Observa que esta gráfica de hecho cruza y = 0 en x = -\frac{2}{5}. Eso está permitido: una asíntota solo describe los extremos lejanos.

Ejemplo resuelto 3: numerador de mayor grado

Calcula \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 1}{2x + 5}.

Paso 1. La mayor potencia del denominador es x.

Paso 2. Divide cada término entre x.

Paso 3. Calcula el límite. El denominador tiende a 2, pero el numerador contiene x^2, que crece sin límite:

No hay asíntota horizontal. Para x grande, la función se comporta como \frac{x^3}{2x} = \frac{x^2}{2}, una parábola.

Las reglas de los grados para funciones racionales

Después de hacer algunos ejemplos, notarás que solo importan los términos principales. Para

con n el grado del numerador y m el grado del denominador:

Cuando n > m, el signo del infinito sale de los términos principales: \frac{a x^n}{b x^m} = \frac{a}{b} x^{n-m}. Revisa el signo de esa expresión para x muy positivo o muy negativo.

Consejo: si n = m + 1, la gráfica tiene en cambio una asíntota oblicua. La división de polinomios del numerador entre el denominador da esa recta.

Raíces cuadradas: por qué los dos extremos pueden ser distintos

Las funciones racionales siempre tienen la misma asíntota horizontal en ambos extremos. Las raíces cuadradas pueden romper esa simetría, porque

que es igual a x cuando x > 0, pero a -x cuando x < 0.

Ejemplo resuelto 4: una raíz en el numerador

Calcula \lim_{x \to \infty} y \lim_{x \to -\infty} de f(x) = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x + 3}.

Paso 1. Saca x^2 de la raíz.

Paso 2. Cuando x \to \infty, |x| = x. Divide numerador y denominador entre x:

Paso 3. Cuando x \to -\infty, |x| = -x. Ahora la misma división da un signo menos adicional:

Paso 4. Indica las asíntotas. y = 2 a la derecha y y = -2 a la izquierda. (También hay una asíntota vertical en x = -3, donde el denominador vale 0.)

Infinito menos infinito: usa el conjugado

Algunos límites al infinito ni siquiera son fracciones. Una diferencia de dos términos que crecen da la forma \infty - \infty, que es indeterminada: la respuesta depende de qué término crece más rápido, y por cuánto.

Ejemplo resuelto 5: una diferencia con una raíz

Calcula \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right).

Paso 1. Identifica la forma. Tanto \sqrt{x^2 + x} como x crecen sin límite, así que es \infty - \infty. Todavía no puedes concluir nada.

Paso 2. Multiplica por el conjugado sobre sí mismo.

Paso 3. Divide numerador y denominador entre x. Para x > 0, \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, así que

Paso 4. Calcula el límite.

Así que los dos términos no se cancelan a 0. La raíz siempre va aproximadamente \frac{1}{2} por delante de x.

Límites al infinito frente a límites infinitos

Estas dos expresiones suenan parecidas pero describen cosas distintas, y confundirlas es muy común.

• Un límite al infinito tiene x \to \pm\infty. Describe el comportamiento en los extremos y da asíntotas horizontales. Ejemplo: \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.
• Un límite infinito tiene la salida tendiendo a \pm\infty cuando x se acerca a un número finito. Da asíntotas verticales. Ejemplo: \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.

Una misma función puede tener ambos, como muestra el ejemplo resuelto 4: asíntotas horizontales y = \pm 2 y una asíntota vertical en x = -3.

Otras funciones que deberías conocer

No todos los límites al infinito involucran una fracción de polinomios. Estos aparecen constantemente:

También ayuda conocer la jerarquía de crecimiento para x grande: los logaritmos crecen más despacio que cualquier potencia positiva de x, y las potencias crecen más despacio que las exponenciales. Así que \frac{\ln x}{x} \to 0 y \frac{x^{10}}{e^x} \to 0. Puedes demostrarlo con la regla de L'Hôpital.

Errores comunes con los límites al infinito

1. Dividir entre la potencia equivocada. Divide entre la mayor potencia del denominador. Dividir entre algo menor deja un término que sigue creciendo, y el límite queda oculto.
2. Tratar \frac{\infty}{\infty} como 1. Es indeterminada. \frac{x^2}{x} y \frac{x}{x^2} son ambas \frac{\infty}{\infty}, pero sus límites son \infty y 0.
3. Tratar \infty - \infty como 0. El ejemplo resuelto 5 muestra que la respuesta puede ser cualquier número, en ese caso \frac{1}{2}.
4. Olvidar que \sqrt{x^2} = |x|. Es la causa clásica de un signo equivocado cuando x \to -\infty.
5. Creer que las gráficas nunca cruzan las asíntotas. Las asíntotas verticales no se pueden cruzar, pero las horizontales se cruzan con frecuencia.

Practica a leer el comportamiento en los extremos

Las reglas de los grados se aprenden en un minuto y se necesitan unas cuantas decenas de problemas para confiar en ellas. En la lección interactiva de abajo vas a predecir el comportamiento en los extremos, encontrar asíntotas horizontales y recibir retroalimentación al instante que te señala exactamente qué potencia o qué signo se te escapó. Cuando esto se vuelva automático, el trazado de curvas y las preguntas de continuidad también se vuelven mucho más fáciles.