Grenzwerte im Unendlichen: Verhalten im Unendlichen und Asymptoten

Was passiert mit einer Funktion weit draußen auf dem Graphen, jenseits des Bildschirmrands deines Taschenrechners? Wird sie flach, schießt sie nach oben oder schwankt sie immer weiter? Grenzwerte im Unendlichen beantworten diese Frage, und für gebrochenrationale Funktionen gibt es ein paar einfache Regeln, die fast jede Aufgabe in Sekunden erledigen.

Was ist ein Grenzwert im Unendlichen?

Ein Grenzwert im Unendlichen beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn x unbeschränkt wächst. Wir schreiben

und meinen damit: Wenn x groß genug ist, liegt f(x) beliebig nahe an L. Entsprechend beschreibt \lim_{x \to -\infty} f(x), was passiert, wenn x sehr negativ wird.

Zusammen beschreiben diese beiden Grenzwerte das Verhalten im Unendlichen einer Funktion: was der Graph ganz links und ganz rechts tut.

Es gibt drei mögliche Ergebnisse:

• Die Funktionswerte nähern sich einer Zahl L. Dann ist die Gerade y = L eine waagerechte Asymptote.
• Die Funktionswerte wachsen unbeschränkt, und wir schreiben \infty oder -\infty.
• Die Funktionswerte pendeln sich nie ein, wie bei \sin x, das immer weiter schwingt. Dann existiert der Grenzwert nicht.

Der Grundbaustein: 1 durch eine Potenz von x

Alles Folgende beruht auf einer Tatsache. Für jede positive Potenz p gilt

Teilt man eine feste Zahl durch eine riesige Zahl, entsteht etwas Winziges. \frac{1}{1000} ist klein, \frac{1}{1000^2} ist noch kleiner. Dasselbe gilt für x \to -\infty, sofern x^p dort definiert ist.

Allgemeiner gilt \frac{c}{x^p} \to 0 für jede Konstante c. Die Strategie bei komplizierten Ausdrücken ist, sie so umzuschreiben, dass jeder übrig bleibende Teil wie \frac{c}{x^p} aussieht.

Das Verfahren: durch die höchste Potenz im Nenner teilen

Bei einer gebrochenrationalen Funktion teilst du jeden Term in Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x, die im Nenner vorkommt. Dann lässt du jeden Term der Form \frac{c}{x^p} gegen 0 gehen.

Rechenbeispiel 1: gleiche Grade

Bestimme \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}.

Schritt 1. Höchste Potenz im Nenner finden. Sie ist x^2.

Schritt 2. Jeden Term durch x^2 teilen.

Schritt 3. Die kleinen Terme verschwinden lassen. Für x \to \infty gilt \frac{3}{x^2} \to 0 und \frac{1}{x^2} \to 0:

Dieselben Schritte liefern 2 für x \to -\infty, also ist y = 2 an beiden Enden eine waagerechte Asymptote.

Rechenbeispiel 2: Nennergrad größer

Bestimme \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 2}{x^2 + 1}.

Schritt 1. Die höchste Potenz im Nenner ist x^2.

Schritt 2. Jeden Term durch x^2 teilen.

Schritt 3. Grenzwert bilden. Der Zähler geht gegen 0 + 0 = 0 und der Nenner gegen 1:

Also ist y = 0 eine waagerechte Asymptote. Beachte, dass dieser Graph y = 0 bei x = -\frac{2}{5} tatsächlich schneidet. Das ist erlaubt: Eine Asymptote beschreibt nur die äußeren Enden.

Rechenbeispiel 3: Zählergrad größer

Bestimme \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 1}{2x + 5}.

Schritt 1. Die höchste Potenz im Nenner ist x.

Schritt 2. Jeden Term durch x teilen.

Schritt 3. Grenzwert bilden. Der Nenner geht gegen 2, aber der Zähler enthält x^2, und das wächst unbeschränkt:

Es gibt keine waagerechte Asymptote. Für große x verhält sich die Funktion wie \frac{x^3}{2x} = \frac{x^2}{2}, also wie eine Parabel.

Die Gradregeln für gebrochenrationale Funktionen

Nach ein paar Beispielen merkst du, dass nur die höchsten Terme zählen. Für

mit n als Zählergrad und m als Nennergrad gilt:

Bei n > m ergibt sich das Vorzeichen von unendlich aus den höchsten Termen: \frac{a x^n}{b x^m} = \frac{a}{b} x^{n-m}. Prüfe dessen Vorzeichen für große positive oder große negative x.

Tipp: Ist n = m + 1, hat der Graph stattdessen eine schiefe Asymptote. Die Polynomdivision des Zählers durch den Nenner liefert diese Gerade.

Wurzeln: warum sich die beiden Enden unterscheiden können

Gebrochenrationale Funktionen haben an beiden Enden immer dieselbe waagerechte Asymptote. Wurzeln können diese Symmetrie brechen, denn

ist gleich x für x > 0, aber gleich -x für x < 0.

Rechenbeispiel 4: eine Wurzel im Zähler

Bestimme sowohl \lim_{x \to \infty} als auch \lim_{x \to -\infty} von f(x) = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x + 3}.

Schritt 1. x^2 aus der Wurzel ziehen.

Schritt 2. Für x \to \infty ist |x| = x. Teile Zähler und Nenner durch x:

Schritt 3. Für x \to -\infty ist |x| = -x. Jetzt liefert dieselbe Division ein zusätzliches Minuszeichen:

Schritt 4. Asymptoten angeben. y = 2 rechts und y = -2 links. (Außerdem gibt es eine senkrechte Asymptote bei x = -3, wo der Nenner 0 ist.)

Unendlich minus unendlich: mit dem konjugierten Term erweitern

Manche Grenzwerte im Unendlichen sind gar keine Brüche. Die Differenz zweier wachsender Terme ergibt die Form \infty - \infty, und die ist unbestimmt: Das Ergebnis hängt davon ab, welcher Term schneller wächst und um wie viel.

Rechenbeispiel 5: eine Differenz mit Wurzel

Bestimme \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right).

Schritt 1. Form bestimmen. Sowohl \sqrt{x^2 + x} als auch x wachsen unbeschränkt, das ist also \infty - \infty. Daraus kannst du noch nichts schließen.

Schritt 2. Mit dem konjugierten Term erweitern.

Schritt 3. Zähler und Nenner durch x teilen. Für x > 0 ist \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, also

Schritt 4. Grenzwert bilden.

Die beiden Terme heben sich also nicht zu 0 auf. Die Wurzel liegt immer ungefähr \frac{1}{2} vor x.

Grenzwerte im Unendlichen und unendliche Grenzwerte

Die beiden Begriffe klingen ähnlich, beschreiben aber Verschiedenes, und sie werden oft verwechselt.

• Bei einem Grenzwert im Unendlichen gilt x \to \pm\infty. Er beschreibt das Verhalten im Unendlichen und liefert waagerechte Asymptoten. Beispiel: \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.
• Bei einem unendlichen Grenzwert geht der Funktionswert gegen \pm\infty, während sich x einer endlichen Zahl nähert. Er liefert senkrechte Asymptoten. Beispiel: \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.

Eine Funktion kann beides haben, wie Rechenbeispiel 4 zeigt: waagerechte Asymptoten y = \pm 2 und eine senkrechte Asymptote bei x = -3.

Weitere Funktionen, die du kennen solltest

Nicht jeder Grenzwert im Unendlichen ist ein Bruch aus Polynomen. Diese hier tauchen ständig auf:

Hilfreich ist auch die Wachstumshierarchie für große x: Logarithmen wachsen langsamer als jede positive Potenz von x, und Potenzen wachsen langsamer als Exponentialfunktionen. Also gilt \frac{\ln x}{x} \to 0 und \frac{x^{10}}{e^x} \to 0. Beweisen kannst du das mit der Regel von L'Hospital.

Typische Fehler bei Grenzwerten im Unendlichen

1. Durch die falsche Potenz teilen. Teile durch die höchste Potenz im Nenner. Teilst du durch etwas Kleineres, bleibt ein Term übrig, der weiter wächst, und der Grenzwert bleibt verborgen.
2. \frac{\infty}{\infty} als 1 behandeln. Das ist unbestimmt. \frac{x^2}{x} und \frac{x}{x^2} haben beide die Form \frac{\infty}{\infty}, aber die Grenzwerte \infty und 0.
3. \infty - \infty als 0 behandeln. Rechenbeispiel 5 zeigt, dass jede Zahl herauskommen kann, in diesem Fall \frac{1}{2}.
4. \sqrt{x^2} = |x| vergessen. Das ist die klassische Ursache für ein falsches Vorzeichen bei x \to -\infty.
5. Glauben, dass Graphen Asymptoten nie schneiden. Senkrechte Asymptoten können nicht geschnitten werden, waagerechte dagegen oft.

Übe, das Verhalten im Unendlichen abzulesen

Die Gradregeln lernst du in einer Minute, aber du brauchst ein paar Dutzend Aufgaben, bis du ihnen vertraust. In der interaktiven Lektion unten sagst du das Verhalten im Unendlichen voraus, bestimmst waagerechte Asymptoten und bekommst sofort Rückmeldung, die dir genau zeigt, welche Potenz oder welches Vorzeichen du übersehen hast. Sobald das automatisch sitzt, werden auch Kurvendiskussionen und Fragen zur Stetigkeit viel leichter.