Limites à l'infini : comportement asymptotique et asymptotes

Que devient une fonction très loin sur la courbe, au-delà du bord de l'écran de votre calculatrice ? Se stabilise-t-elle, monte-t-elle en flèche, ou continue-t-elle d'osciller ? Les limites à l'infini répondent à cette question, et pour les fonctions rationnelles, quelques règles simples règlent presque tous les exercices en quelques secondes.

Qu'est-ce qu'une limite à l'infini ?

Une limite à l'infini décrit la valeur dont une fonction s'approche quand x devient arbitrairement grand. On écrit

pour dire que, dès que x est assez grand, f(x) reste aussi proche de L qu'on le souhaite. De même, \lim_{x \to -\infty} f(x) décrit ce qui se passe quand x devient très négatif.

Ensemble, ces deux limites décrivent le comportement asymptotique d'une fonction : ce que fait la courbe tout à gauche et tout à droite.

Il y a trois issues possibles :

• Les images s'approchent d'un nombre L. La droite y = L est alors une asymptote horizontale.
• Les images grandissent sans limite, et on écrit \infty ou -\infty.
• Les images ne se stabilisent jamais, comme \sin x, qui oscille sans fin. La limite n'existe alors pas.

La brique de base : 1 sur x à une puissance

Tout ce qui suit repose sur un seul résultat. Pour toute puissance positive p,

Diviser un nombre fixe par un nombre énorme donne un résultat minuscule. \frac{1}{1000} est petit, \frac{1}{1000^2} l'est encore plus. C'est aussi vrai quand x \to -\infty, dès que x^p y est défini.

Plus généralement, \frac{c}{x^p} \to 0 pour toute constante c. La stratégie, pour les expressions compliquées, consiste à les réécrire de sorte que chaque morceau restant ressemble à \frac{c}{x^p}.

La méthode : diviser par la plus haute puissance du dénominateur

Pour une fonction rationnelle, divisez chaque terme du numérateur et du dénominateur par la plus haute puissance de x qui apparaît au dénominateur. Faites ensuite tendre chaque terme \frac{c}{x^p} vers 0.

Exemple corrigé 1 : degrés égaux

Calculez \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}.

Étape 1. Trouver la plus haute puissance du dénominateur. C'est x^2.

Étape 2. Diviser chaque terme par x^2.

Étape 3. Faire disparaître les petits termes. Quand x \to \infty, \frac{3}{x^2} \to 0 et \frac{1}{x^2} \to 0 :

Les mêmes étapes donnent 2 quand x \to -\infty, donc y = 2 est une asymptote horizontale des deux côtés.

Exemple corrigé 2 : dénominateur dominant

Calculez \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 2}{x^2 + 1}.

Étape 1. La plus haute puissance du dénominateur est x^2.

Étape 2. Diviser chaque terme par x^2.

Étape 3. Calculer la limite. Le numérateur tend vers 0 + 0 = 0 et le dénominateur vers 1 :

Donc y = 0 est une asymptote horizontale. Remarquez que cette courbe traverse bel et bien y = 0 en x = -\frac{2}{5}. C'est permis : une asymptote ne décrit que les extrémités.

Exemple corrigé 3 : numérateur dominant

Calculez \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 1}{2x + 5}.

Étape 1. La plus haute puissance du dénominateur est x.

Étape 2. Diviser chaque terme par x.

Étape 3. Calculer la limite. Le dénominateur tend vers 2, mais le numérateur contient x^2, qui grandit sans limite :

Il n'y a pas d'asymptote horizontale. Pour x grand, la fonction se comporte comme \frac{x^3}{2x} = \frac{x^2}{2}, une parabole.

Les règles des degrés pour les fonctions rationnelles

Après quelques exemples, on remarque que seuls les termes de plus haut degré comptent. Pour

avec n le degré du numérateur et m le degré du dénominateur :

Quand n > m, le signe de l'infini vient des termes dominants : \frac{a x^n}{b x^m} = \frac{a}{b} x^{n-m}. Regardez le signe de cette expression pour x très grand positif ou très grand négatif.

Astuce : si n = m + 1, la courbe a plutôt une asymptote oblique. La division euclidienne du numérateur par le dénominateur donne la droite.

Racines carrées : pourquoi les deux extrémités peuvent différer

Les fonctions rationnelles ont toujours la même asymptote horizontale des deux côtés. Les racines carrées peuvent briser cette symétrie, car

qui vaut x quand x > 0, mais -x quand x < 0.

Exemple corrigé 4 : une racine au numérateur

Calculez \lim_{x \to \infty} et \lim_{x \to -\infty} de f(x) = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x + 3}.

Étape 1. Sortir x^2 de la racine.

Étape 2. Quand x \to \infty, |x| = x. On divise le numérateur et le dénominateur par x :

Étape 3. Quand x \to -\infty, |x| = -x. La même division fait apparaître un signe moins supplémentaire :

Étape 4. Donner les asymptotes. y = 2 à droite et y = -2 à gauche. (Il y a aussi une asymptote verticale en x = -3, là où le dénominateur vaut 0.)

Infini moins infini : utilisez l'expression conjuguée

Certaines limites à l'infini ne sont pas du tout des fractions. Une différence de deux termes qui grandissent donne la forme \infty - \infty, qui est indéterminée : la réponse dépend du terme qui grandit le plus vite, et de combien.

Exemple corrigé 5 : une différence avec une racine

Calculez \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right).

Étape 1. Identifier la forme. \sqrt{x^2 + x} et x grandissent tous deux sans limite : c'est une forme \infty - \infty. On ne peut encore rien conclure.

Étape 2. Multiplier en haut et en bas par l'expression conjuguée.

Étape 3. Diviser le numérateur et le dénominateur par x. Pour x > 0, \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, donc

Étape 4. Calculer la limite.

Les deux termes ne s'annulent donc pas pour donner 0. La racine a toujours environ \frac{1}{2} d'avance sur x.

Limite à l'infini ou limite infinie

Ces deux expressions se ressemblent mais décrivent des choses différentes, et on les confond souvent.

• Une limite à l'infini a x \to \pm\infty. Elle décrit le comportement aux extrémités et donne les asymptotes horizontales. Exemple : \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.
• Une limite infinie, c'est quand l'image tend vers \pm\infty lorsque x s'approche d'un nombre fini. Elle donne les asymptotes verticales. Exemple : \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.

Une même fonction peut avoir les deux, comme le montre l'exemple corrigé 4 : asymptotes horizontales y = \pm 2 et asymptote verticale en x = -3.

D'autres fonctions à connaître

Toutes les limites à l'infini ne portent pas sur un quotient de polynômes. Celles-ci reviennent sans cesse :

Il est aussi utile de connaître les croissances comparées pour x grand : les logarithmes croissent moins vite que toute puissance positive de x, et les puissances moins vite que les exponentielles. Ainsi \frac{\ln x}{x} \to 0 et \frac{x^{10}}{e^x} \to 0. On peut le démontrer avec la règle de L'Hôpital.

Erreurs fréquentes avec les limites à l'infini

1. Diviser par la mauvaise puissance. Divisez par la plus haute puissance du dénominateur. Diviser par une puissance plus petite laisse un terme qui grandit encore, et la limite reste cachée.
2. Traiter \frac{\infty}{\infty} comme 1. C'est une forme indéterminée. \frac{x^2}{x} et \frac{x}{x^2} sont toutes deux de la forme \frac{\infty}{\infty}, mais leurs limites valent \infty et 0.
3. Traiter \infty - \infty comme 0. L'exemple corrigé 5 montre que la réponse peut être n'importe quel nombre, ici \frac{1}{2}.
4. Oublier que \sqrt{x^2} = |x|. C'est la source classique d'une erreur de signe quand x \to -\infty.
5. Croire qu'une courbe ne traverse jamais ses asymptotes. Les asymptotes verticales ne peuvent pas être traversées, mais les horizontales le sont souvent.

Entraînez-vous à lire le comportement aux extrémités

Les règles des degrés s'apprennent en une minute, mais il faut quelques dizaines d'exercices pour leur faire confiance. Dans la leçon interactive ci-dessous, vous prédirez le comportement aux extrémités, trouverez des asymptotes horizontales et recevrez une correction immédiate qui pointe exactement la puissance ou le signe oublié. Une fois ces réflexes acquis, l'étude de courbes et les questions de continuité deviennent aussi bien plus faciles.