Limites no infinito: comportamento no extremo e assíntotas horizontais

O que acontece com uma função lá longe no gráfico, além da borda da tela da calculadora? Ela se estabiliza, dispara para cima ou continua oscilando? Os limites no infinito respondem a essa pergunta, e para funções racionais existe um conjunto simples de regras que resolve quase todo problema em segundos.

O que é um limite no infinito?

Um limite no infinito descreve o valor do qual uma função se aproxima quando x cresce sem limite. Escrevemos

para dizer que, quando x é grande o suficiente, f(x) fica tão perto de L quanto você quiser. Da mesma forma, \lim_{x \to -\infty} f(x) descreve o que acontece quando x fica muito negativo.

Juntos, esses dois limites descrevem o comportamento nos extremos de uma função: o que o gráfico faz bem à esquerda e bem à direita.

Há três resultados possíveis:

• As saídas se aproximam de um número L. Então a reta y = L é uma assíntota horizontal.
• As saídas crescem sem limite, e escrevemos \infty ou -\infty.
• As saídas nunca se acomodam, como \sin x, que continua oscilando. Então o limite não existe.

O bloco básico: 1 sobre x elevado a uma potência

Tudo o que vem a seguir se apoia num único fato. Para qualquer potência positiva p,

Dividir um número fixo por um número enorme dá algo minúsculo. \frac{1}{1000} é pequeno, \frac{1}{1000^2} é menor ainda. O mesmo vale quando x \to -\infty, sempre que x^p estiver definido ali.

De modo mais geral, \frac{c}{x^p} \to 0 para qualquer constante c. A estratégia para expressões complicadas é reescrevê-las de modo que cada pedaço restante tenha a cara de \frac{c}{x^p}.

O método: dividir pela maior potência do denominador

Numa função racional, divida cada termo do numerador e do denominador pela maior potência de x que aparece no denominador. Depois deixe cada termo \frac{c}{x^p} ir para 0.

Exemplo resolvido 1: graus iguais

Calcule \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}.

Passo 1. Encontre a maior potência do denominador. É x^2.

Passo 2. Divida cada termo por x^2.

Passo 3. Deixe os termos pequenos sumirem. Quando x \to \infty, \frac{3}{x^2} \to 0 e \frac{1}{x^2} \to 0:

Os mesmos passos dão 2 quando x \to -\infty, então y = 2 é assíntota horizontal nos dois extremos.

Exemplo resolvido 2: denominador de grau maior

Calcule \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 2}{x^2 + 1}.

Passo 1. A maior potência do denominador é x^2.

Passo 2. Divida cada termo por x^2.

Passo 3. Calcule o limite. O numerador tende a 0 + 0 = 0 e o denominador a 1:

Então y = 0 é uma assíntota horizontal. Repare que esse gráfico na verdade cruza y = 0 em x = -\frac{2}{5}. Isso é permitido: uma assíntota só descreve os extremos.

Exemplo resolvido 3: numerador de grau maior

Calcule \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 1}{2x + 5}.

Passo 1. A maior potência do denominador é x.

Passo 2. Divida cada termo por x.

Passo 3. Calcule o limite. O denominador tende a 2, mas o numerador contém x^2, que cresce sem limite:

Não há assíntota horizontal. Para x grande, a função se comporta como \frac{x^3}{2x} = \frac{x^2}{2}, uma parábola.

As regras dos graus para funções racionais

Depois de alguns exemplos, você vai perceber que só os termos líderes importam. Para

com n o grau do numerador e m o grau do denominador:

Quando n > m, o sinal do infinito vem dos termos líderes: \frac{a x^n}{b x^m} = \frac{a}{b} x^{n-m}. Confira o sinal disso para x muito positivo ou muito negativo.

Dica: se n = m + 1, o gráfico tem uma assíntota oblíqua. A divisão de polinômios do numerador pelo denominador dá a reta.

Raízes quadradas: por que os dois extremos podem diferir

Funções racionais sempre têm a mesma assíntota horizontal nos dois extremos. Raízes quadradas podem quebrar essa simetria, porque

que é igual a x quando x > 0, mas a -x quando x < 0.

Exemplo resolvido 4: uma raiz no numerador

Calcule \lim_{x \to \infty} e \lim_{x \to -\infty} de f(x) = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x + 3}.

Passo 1. Tire x^2 de dentro da raiz.

Passo 2. Quando x \to \infty, |x| = x. Divida numerador e denominador por x:

Passo 3. Quando x \to -\infty, |x| = -x. Agora a mesma divisão traz um sinal de menos a mais:

Passo 4. Indique as assíntotas. y = 2 à direita e y = -2 à esquerda. (Há também uma assíntota vertical em x = -3, onde o denominador é 0.)

Infinito menos infinito: use o conjugado

Alguns limites no infinito nem são frações. A diferença de dois termos que crescem dá a forma \infty - \infty, que é indeterminada: a resposta depende de qual termo cresce mais rápido, e por quanto.

Exemplo resolvido 5: uma diferença com raiz

Calcule \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right).

Passo 1. Identifique a forma. Tanto \sqrt{x^2 + x} quanto x crescem sem limite, então isso é \infty - \infty. Ainda não dá para concluir nada.

Passo 2. Multiplique pelo conjugado sobre ele mesmo.

Passo 3. Divida numerador e denominador por x. Para x > 0, \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, então

Passo 4. Calcule o limite.

Então os dois termos não se cancelam até 0. A raiz fica sempre cerca de \frac{1}{2} à frente de x.

Limites no infinito versus limites infinitos

Essas duas expressões soam parecidas, mas descrevem coisas diferentes, e confundi-las é comum.

• Um limite no infinito tem x \to \pm\infty. Descreve o comportamento nos extremos e dá assíntotas horizontais. Exemplo: \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.
• Um limite infinito tem a saída indo para \pm\infty quando x se aproxima de um número finito. Dá assíntotas verticais. Exemplo: \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.

Uma mesma função pode ter os dois, como mostra o exemplo resolvido 4: assíntotas horizontais y = \pm 2 e uma assíntota vertical em x = -3.

Outras funções que você deve conhecer

Nem todo limite no infinito envolve uma fração de polinômios. Estes aparecem o tempo todo:

Também ajuda conhecer a hierarquia de crescimento para x grande: logaritmos crescem mais devagar que qualquer potência positiva de x, e potências crescem mais devagar que exponenciais. Então \frac{\ln x}{x} \to 0 e \frac{x^{10}}{e^x} \to 0. Você pode provar isso com a regra de L'Hôpital.

Erros comuns com limites no infinito

1. Dividir pela potência errada. Divida pela maior potência do denominador. Dividir por algo menor deixa um termo que ainda cresce, e o limite continua escondido.
2. Tratar \frac{\infty}{\infty} como 1. É indeterminado. \frac{x^2}{x} e \frac{x}{x^2} são ambos \frac{\infty}{\infty}, mas têm limites \infty e 0.
3. Tratar \infty - \infty como 0. O exemplo resolvido 5 mostra que a resposta pode ser qualquer número, naquele caso \frac{1}{2}.
4. Esquecer que \sqrt{x^2} = |x|. Essa é a fonte clássica de um sinal errado quando x \to -\infty.
5. Acreditar que gráficos nunca cruzam assíntotas. Assíntotas verticais não podem ser cruzadas, mas as horizontais muitas vezes são.

Pratique a leitura do comportamento nos extremos

As regras dos graus levam um minuto para aprender e algumas dezenas de problemas para você confiar nelas. Na lição interativa abaixo, você vai prever o comportamento nos extremos, encontrar assíntotas horizontais e receber feedback imediato que aponta exatamente qual potência ou sinal você deixou passar. Quando isso ficar automático, as questões de esboço de gráficos e de continuidade também ficam muito mais fáceis.