Derivación logarítmica: cómo derivar x^x y otras funciones
Derivación logarítmica: toma ln en ambos lados, deriva y multiplica por y. Pasos y ejemplos con x^x, potencias variables y productos complicados.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Bases variables con exponentes variables como x^x, y productos o cocientes largos de potencias
- En palabras
- Toma \ln en ambos lados, simplifica con las propiedades de los logaritmos, deriva y multiplica por y
- Dato clave
- \frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} por la regla de la cadena
- Propiedades de los logaritmos usadas
- \ln(ab) = \ln a + \ln b, \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \ln a^k = k \ln a
- Resultado clásico
- \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)
En esta página
La derivación logarítmica es una técnica para funciones que son difíciles de derivar directamente. Tomas el logaritmo natural en ambos lados, usas las propiedades de los logaritmos para convertir productos, cocientes y potencias en sumas y múltiplos, derivas y luego despejas \frac{dy}{dx}. Es el único método estándar para derivar una función como x^x.
El método
Partiendo de y = f(x) con f(x) > 0:
- Toma el logaritmo natural en ambos lados: \ln y = \ln f(x).
- Simplifica el lado derecho con las propiedades de los logaritmos.
- Deriva ambos lados respecto a x. El lado izquierdo se convierte en \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} por la regla de la cadena.
- Multiplica ambos lados por y y sustituye de nuevo y = f(x).
En una línea:
Si f puede ser negativa, usa \ln|y|. La derivada de \ln|y| sigue siendo \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}, así que la fórmula final no cambia.
¿Qué regla para cada potencia?
| Forma | Ejemplo | Regla | Derivada |
|---|---|---|---|
| constante elevada a constante | 2^3 | Regla de la constante | 0 |
| variable elevada a constante | x^3 | Regla de la potencia | 3x^2 |
| constante elevada a variable | 3^x | Regla exponencial | 3^x\ln 3 |
| variable elevada a variable | x^x | Derivación logarítmica | x^x(\ln x + 1) |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: y = x^x (para x > 0). Toma logaritmos y baja el exponente:
Deriva, usando la regla del producto en el lado derecho:
Multiplica por y:
Ejemplo 2: y = x^{\sin x} (para x > 0). Entonces \ln y = \sin x \ln x, y
Ejemplo 3: un cociente complicado. Para y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}, los logaritmos lo separan todo:
Deriva cada término con la regla de la cadena:
Por tanto,
Las reglas del cociente y del producto darían el mismo resultado, pero con mucha más álgebra.
Ejemplo 4: demostrar la regla de la potencia. Para y = x^n con cualquier n real y x > 0: \ln y = n\ln x, así que \frac{y'}{y} = \frac{n}{x} e y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}. Así se extiende la regla de la potencia a cualquier exponente real.
Errores comunes
- Usar la regla de la potencia con x^x. x \cdot x^{x-1} = x^x es incorrecto. El exponente no es constante.
- Usar la regla exponencial con x^x. x^x\ln x también es incorrecto. La base no es constante. Fíjate en que el resultado correcto, x^x\ln x + x^x, es la suma de esas dos respuestas incorrectas.
- Olvidar multiplicar por y. Al derivar \ln y se obtiene \frac{y'}{y}. Despeja y' al final.
- Dejar y en el resultado. Sustituye y por la función original para que la derivada quede solo en función de x.
El método se basa en la derivación implícita y en la derivada de \ln x. Para repasar las derivadas exponenciales y logarítmicas, lee la guía de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
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