Logarithmisches Differenzieren: x^x ableiten und mehr
Logarithmisches Differenzieren: beide Seiten logarithmieren, ableiten, mit y multiplizieren. Beispiele für x^x, variable Exponenten und lange Produkte.
Ableitungsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gilt für
- Variable Basis mit variablem Exponenten wie x^x sowie lange Produkte oder Quotienten von Potenzen
- In Worten
- Beide Seiten mit \ln logarithmieren, mit den Logarithmusgesetzen vereinfachen, ableiten und mit y multiplizieren
- Kernaussage
- \frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} nach der Kettenregel
- Verwendete Logarithmusgesetze
- \ln(ab) = \ln a + \ln b, \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \ln a^k = k \ln a
- Klassisches Ergebnis
- \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)
Auf dieser Seite
Das logarithmische Differenzieren ist eine Technik für Funktionen, die sich direkt nur umständlich ableiten lassen. Du logarithmierst beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus, machst mit den Logarithmusgesetzen aus Produkten, Quotienten und Potenzen Summen und Vielfache, leitest ab und löst nach \frac{dy}{dx} auf. Es ist der einzige Standardweg, eine Funktion wie x^x abzuleiten.
Das Verfahren
Ausgehend von y = f(x) mit f(x) > 0:
- Logarithmiere beide Seiten: \ln y = \ln f(x).
- Vereinfache die rechte Seite mit den Logarithmusgesetzen.
- Leite beide Seiten nach x ab. Die linke Seite wird nach der Kettenregel zu \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}.
- Multipliziere beide Seiten mit y und setze dann y = f(x) wieder ein.
In einer Zeile:
Kann f negativ werden, verwende stattdessen \ln|y|. Die Ableitung von \ln|y| ist ebenfalls \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}, die Formel am Ende ändert sich also nicht.
Welche Regel für welche Potenz?
| Form | Beispiel | Regel | Ableitung |
|---|---|---|---|
| Konstante hoch Konstante | 2^3 | Konstantenregel | 0 |
| Variable hoch Konstante | x^3 | Potenzregel | 3x^2 |
| Konstante hoch Variable | 3^x | Regel für Exponentialfunktionen | 3^x\ln 3 |
| Variable hoch Variable | x^x | Logarithmisches Differenzieren | x^x(\ln x + 1) |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: y = x^x (für x > 0). Logarithmiere und ziehe den Exponenten nach vorn:
Leite ab und verwende rechts die Produktregel:
Multipliziere mit y:
Beispiel 2: y = x^{\sin x} (für x > 0). Dann ist \ln y = \sin x \ln x, und
Beispiel 3: ein unübersichtlicher Quotient. Bei y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5} zerlegt der Logarithmus alles in Einzelteile:
Leite jeden Term mit der Kettenregel ab:
Also gilt
Quotienten- und Produktregel liefern dasselbe Ergebnis, aber mit deutlich mehr Algebra.
Beispiel 4: die Potenzregel beweisen. Für y = x^n mit beliebigem reellem n und x > 0 gilt \ln y = n\ln x, also \frac{y'}{y} = \frac{n}{x} und y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}. So wird die Potenzregel auf jeden reellen Exponenten erweitert.
Häufige Fehler
- Die Potenzregel auf x^x anwenden. x \cdot x^{x-1} = x^x ist falsch. Der Exponent ist nicht konstant.
- Die Regel für Exponentialfunktionen auf x^x anwenden. x^x\ln x ist ebenfalls falsch. Die Basis ist nicht konstant. Beachte, dass das richtige Ergebnis x^x\ln x + x^x die Summe dieser beiden falschen Ergebnisse ist.
- Vergessen, mit y zu multiplizieren. Das Ableiten von \ln y ergibt \frac{y'}{y}. Löse am Ende nach y' auf.
- y im Ergebnis stehen lassen. Ersetze y durch die ursprüngliche Funktion, damit die Ableitung nur noch von x abhängt.
Das Verfahren beruht auf dem impliziten Differenzieren und der Ableitung von \ln x. Hintergrundwissen zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen findest du im Leitfaden zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
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