Derivação logarítmica: como derivar x^x e outras funções
Derivação logarítmica: aplique ln nos dois lados, derive e multiplique por y. Passo a passo e exemplos para x^x, expoentes variáveis e produtos longos.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Bases variáveis com expoentes variáveis, como x^x, e produtos ou quocientes longos de potências
- Em palavras
- Aplique \ln nos dois lados, simplifique com as propriedades dos logaritmos, derive e multiplique por y
- Fato-chave
- \frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} pela regra da cadeia
- Propriedades usadas
- \ln(ab) = \ln a + \ln b, \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \ln a^k = k \ln a
- Resultado clássico
- \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)
A derivação logarítmica é uma técnica para funções difíceis de derivar diretamente. Você aplica o logaritmo natural nos dois lados, usa as propriedades dos logaritmos para transformar produtos, quocientes e potências em somas e múltiplos, deriva e então isola \frac{dy}{dx}. É o único método usual para derivar uma função como x^x.
O método
Partindo de y = f(x) com f(x) > 0:
- Aplique o logaritmo natural nos dois lados: \ln y = \ln f(x).
- Simplifique o lado direito com as propriedades dos logaritmos.
- Derive os dois lados em relação a x. O lado esquerdo vira \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} pela regra da cadeia.
- Multiplique os dois lados por y e substitua y = f(x) de volta.
Em uma linha:
Se f puder ser negativa, use \ln|y|. A derivada de \ln|y| continua sendo \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}, então a fórmula final não muda.
Qual regra para cada potência?
| Forma | Exemplo | Regra | Derivada |
|---|---|---|---|
| constante elevada a constante | 2^3 | Regra da constante | 0 |
| variável elevada a constante | x^3 | Regra da potência | 3x^2 |
| constante elevada a variável | 3^x | Regra da exponencial | 3^x\ln 3 |
| variável elevada a variável | x^x | Derivação logarítmica | x^x(\ln x + 1) |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: y = x^x (para x > 0). Aplique o logaritmo e desça o expoente:
Derive, usando a regra do produto no lado direito:
Multiplique por y:
Exemplo 2: y = x^{\sin x} (para x > 0). Então \ln y = \sin x \ln x, e
Exemplo 3: um quociente complicado. Para y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}, os logaritmos separam tudo:
Derive cada termo com a regra da cadeia:
Assim
As regras do quociente e do produto chegariam à mesma resposta, mas com muito mais álgebra.
Exemplo 4: demonstrando a regra da potência. Para y = x^n com qualquer n real e x > 0: \ln y = n\ln x, logo \frac{y'}{y} = \frac{n}{x} e y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}. É assim que a regra da potência se estende a qualquer expoente real.
Erros comuns
- Usar a regra da potência em x^x. x \cdot x^{x-1} = x^x está errado. O expoente não é constante.
- Usar a regra da exponencial em x^x. x^x\ln x também está errado. A base não é constante. Repare que a resposta correta x^x\ln x + x^x é a soma dessas duas respostas erradas.
- Esquecer de multiplicar por y. Derivar \ln y dá \frac{y'}{y}. Isole y' no final.
- Deixar y na resposta. Substitua y pela função original para que a derivada fique só em função de x.
O método se apoia na derivação implícita e na derivada de \ln x. Para revisar as derivadas de exponenciais e logaritmos, leia o guia de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
Pratique agora
Exponenciais e logaritmos
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição