Sustitución directa en límites: cuándo funciona y qué hacer después
La sustitución directa calcula un límite reemplazando x por el valor. Aprende cuándo funciona, cómo leer el resultado y qué hacer con 0/0 o a/0.
Leyes de los límites Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Cualquier función continua en x = a
- Funciona con
- Polinomios en todo punto, funciones racionales donde el denominador no se anula, y \sin, \cos, e^x, \ln x, \sqrt{x} en sus dominios
- Si obtienes un número
- Ese número es el límite
- Si obtienes 0/0
- Indeterminación: simplifica y vuelve a sustituir
- Si obtienes a/0 con a ≠ 0
- El límite es infinito o no existe
En esta página
La sustitución directa es el primer paso con cualquier límite: reemplaza x por el valor al que tiende y calcula. Si la función es continua en ese punto, el valor que obtienes es el límite. Si obtienes \frac{0}{0} o un número entre cero, el resultado te dice qué técnica usar a continuación.
La propiedad de sustitución directa
Si f es continua en x = a, entonces
En realidad es la definición de continuidad leída al revés. Abarca la mayoría de las funciones que encontrarás: polinomios, funciones racionales (donde el denominador no es cero), raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas en sus dominios, y cualquier suma, producto, cociente y composición de ellas. Las leyes de los límites son las que lo garantizan.
Cómo leer el resultado
| Obtienes | Qué significa | Siguiente paso |
|---|---|---|
| Un número real L | El límite es L | Terminado |
| \frac{0}{0} | Indeterminación | Factoriza, racionaliza o usa la regla de L'Hôpital |
| \frac{a}{0} con a \ne 0 | Asíntota vertical | Estudia el signo por cada lado: \pm\infty o no existe |
| No definido por otro motivo (como \sqrt{-1}) | a está fuera del dominio | Estudia los límites laterales o el dominio |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: sale un número. Los polinomios y las funciones trigonométricas son continuos, así que sustituye:
Ejemplo 2: una función racional. El denominador en x = 3 vale 2 \ne 0:
Ejemplo 3: \frac{0}{0}. Sustituir x = 2 en \frac{x^2 - 4}{x - 2} da \frac{0}{0}. Factoriza, simplifica y sustituye en la expresión más sencilla:
Ejemplo 4: \frac{0}{0} con una raíz. En \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}, la sustitución da \frac{0}{0}. Multiplica por el conjugado:
Ahora sustituye: \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}.
Ejemplo 5: un número distinto de cero entre cero. En \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}, la sustitución da \frac{1}{0}. Por la derecha el cociente tiende a +\infty y por la izquierda a -\infty, así que el límite bilateral no existe.
Por qué se puede simplificar
Un límite cuando x \to a depende solo de los valores de x cercanos a a, nunca de x = a. Las funciones \frac{x^2-4}{x-2} y x + 2 son iguales para todo x \ne 2, así que tienen el mismo límite en 2. Simplificar cambia la función solo en el único punto que el límite ignora.
Errores comunes
- Decir que \frac{0}{0} es cero, uno o "no existe". No es automáticamente ninguna de esas cosas. Significa "sigue trabajando".
- Sustituir en una función que no es continua en a. En una función definida por partes, el valor f(a) puede ser distinto del límite. Estudia cada lado.
- Detenerse en \frac{a}{0}. Determina el signo por cada lado para decir si la respuesta es \infty, -\infty o si no existe.
- Olvidar sustituir después de simplificar. El objetivo de factorizar es llegar a una expresión en la que se pueda sustituir.
Cuando el álgebra se complica, la regla de L'Hôpital resuelve \frac{0}{0} con derivadas. Para un conjunto completo de técnicas, consulta cómo calcular límites.
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