Grenzwert durch direktes Einsetzen: Wann es klappt, wie es weitergeht
Grenzwerte durch direktes Einsetzen berechnen: wann es funktioniert, wie du das Ergebnis deutest und was bei 0/0 oder a/0 hilft.
Grenzwertsätze Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gilt für
- Jede Funktion, die an der Stelle x = a stetig ist
- Funktioniert bei
- Polynomen überall, gebrochenrationalen Funktionen, wo der Nenner ungleich null ist, und \sin, \cos, e^x, \ln x, \sqrt{x} auf ihrem Definitionsbereich
- Ergibt sich eine Zahl
- Diese Zahl ist der Grenzwert
- Ergibt sich 0/0
- Unbestimmt: vereinfachen, dann erneut einsetzen
- Ergibt sich a/0 mit a ≠ 0
- Der Grenzwert ist unendlich oder existiert nicht
Auf dieser Seite
Direktes Einsetzen ist der erste Schritt bei jedem Grenzwert: Ersetze x durch den Wert, gegen den es strebt, und rechne aus. Ist die Funktion dort stetig, ist das Ergebnis der Grenzwert. Erhältst du \frac{0}{0} oder eine Zahl durch null, verrät dir das Ergebnis, welche Technik als Nächstes dran ist.
Die Eigenschaft des direkten Einsetzens
Ist f an der Stelle x = a stetig, dann gilt
Das ist eigentlich die Definition der Stetigkeit, rückwärts gelesen. Sie umfasst die meisten Funktionen, die dir begegnen: Polynome, gebrochenrationale Funktionen (wo der Nenner nicht null ist), Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen auf ihrem Definitionsbereich sowie alle Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen davon. Garantiert wird das durch die Grenzwertsätze.
So deutest du das Ergebnis
| Ergebnis | Bedeutung | Nächster Schritt |
|---|---|---|
| Eine reelle Zahl L | Der Grenzwert ist L | Fertig |
| \frac{0}{0} | Unbestimmter Ausdruck | Faktorisieren, mit dem konjugierten Term erweitern oder die Regel von L'Hospital verwenden |
| \frac{a}{0} mit a \ne 0 | Senkrechte Asymptote | Vorzeichen von beiden Seiten prüfen: \pm\infty oder existiert nicht |
| Aus anderem Grund nicht definiert (wie \sqrt{-1}) | a liegt außerhalb des Definitionsbereichs | Einseitige Grenzwerte oder den Definitionsbereich ansehen |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Es kommt eine Zahl heraus. Polynome und trigonometrische Funktionen sind stetig, also setze ein:
Beispiel 2: eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner an der Stelle x = 3 ist 2 \ne 0:
Beispiel 3: \frac{0}{0}. Einsetzen von x = 2 in \frac{x^2 - 4}{x - 2} ergibt \frac{0}{0}. Faktorisiere, kürze und setze in den einfacheren Term ein:
Beispiel 4: \frac{0}{0} mit einer Wurzel. Bei \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} ergibt Einsetzen \frac{0}{0}. Erweitere mit dem konjugierten Term:
Jetzt einsetzen: \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}.
Beispiel 5: eine Zahl ungleich null durch null. Bei \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} ergibt Einsetzen \frac{1}{0}. Von rechts geht der Quotient gegen +\infty, von links gegen -\infty, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht.
Warum Kürzen erlaubt ist
Ein Grenzwert für x \to a hängt nur von Werten von x nahe a ab, nie von x = a selbst. Die Funktionen \frac{x^2-4}{x-2} und x + 2 stimmen für jedes x \ne 2 überein, haben also bei 2 denselben Grenzwert. Das Kürzen verändert die Funktion nur an dem einen Punkt, den der Grenzwert ohnehin ignoriert.
Häufige Fehler
- \frac{0}{0} als null, eins oder "existiert nicht" deuten. Es ist nichts davon automatisch. Es bedeutet "weiterrechnen".
- In eine Funktion einsetzen, die an der Stelle a nicht stetig ist. Bei einer abschnittsweise definierten Funktion kann der Wert f(a) vom Grenzwert abweichen. Prüfe beide Seiten.
- Bei \frac{a}{0} aufhören. Bestimme das Vorzeichen von beiden Seiten, um zu sagen, ob das Ergebnis \infty, -\infty ist oder nicht existiert.
- Nach dem Vereinfachen das Einsetzen vergessen. Der ganze Sinn des Faktorisierens ist, einen Term zu erhalten, in den du einsetzen kannst.
Wird die Algebra unübersichtlich, behandelt die Regel von L'Hospital den Fall \frac{0}{0} mit Ableitungen. Alle Techniken im Überblick findest du unter Grenzwerte berechnen.
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