Substitution directe pour les limites : quand ça marche et après
La substitution directe calcule une limite en remplaçant x par sa valeur. Quand elle fonctionne, comment lire le résultat et que faire face à 0/0 ou a/0.
Opérations sur les limites Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Toute fonction continue en x = a
- Fonctionne pour
- Les polynômes partout, les fonctions rationnelles là où le dénominateur est non nul, et \sin, \cos, e^x, \ln x, \sqrt{x} sur leur domaine de définition
- Si on obtient un nombre
- Ce nombre est la limite
- Si on obtient 0/0
- Forme indéterminée : simplifier, puis substituer à nouveau
- Si on obtient a/0 avec a ≠ 0
- La limite est infinie ou n'existe pas
Sur cette page
La substitution directe est le premier réflexe face à une limite : on remplace x par la valeur vers laquelle il tend et on calcule. Si la fonction est continue en ce point, la valeur obtenue est la limite. Si l'on obtient \frac{0}{0} ou un nombre divisé par zéro, le résultat indique quelle technique utiliser ensuite.
La propriété de substitution directe
Si f est continue en x = a, alors
C'est en réalité la définition de la continuité lue à l'envers. Elle couvre la plupart des fonctions rencontrées : polynômes, fonctions rationnelles (là où le dénominateur n'est pas nul), racines, exponentielles, logarithmes et fonctions trigonométriques sur leur domaine de définition, ainsi que toutes leurs sommes, produits, quotients et composées. Ce sont les opérations sur les limites qui le garantissent.
Comment lire le résultat
| Vous obtenez | Ce que cela signifie | Étape suivante |
|---|---|---|
| Un nombre réel L | La limite vaut L | Terminé |
| \frac{0}{0} | Forme indéterminée | Factoriser, utiliser la quantité conjuguée ou la règle de L'Hôpital |
| \frac{a}{0} avec a \ne 0 | Asymptote verticale | Étudier le signe de chaque côté : \pm\infty ou la limite n'existe pas |
| Indéfini pour une autre raison (comme \sqrt{-1}) | a est hors du domaine de définition | Étudier les limites à gauche et à droite ou le domaine de définition |
Exemples corrigés
Exemple 1 : on obtient un nombre. Les polynômes et les fonctions trigonométriques sont continus, donc on substitue :
Exemple 2 : une fonction rationnelle. Le dénominateur en x = 3 vaut 2 \ne 0 :
Exemple 3 : \frac{0}{0}. Substituer x = 2 dans \frac{x^2 - 4}{x - 2} donne \frac{0}{0}. On factorise, on simplifie, puis on substitue dans l'expression plus simple :
Exemple 4 : \frac{0}{0} avec une racine. Pour \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}, la substitution donne \frac{0}{0}. On multiplie par la quantité conjuguée :
On substitue maintenant : \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}.
Exemple 5 : un nombre non nul divisé par zéro. Pour \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}, la substitution donne \frac{1}{0}. À droite, le quotient tend vers +\infty et à gauche vers -\infty, donc la limite n'existe pas.
Pourquoi la simplification est permise
Une limite quand x \to a ne dépend que des valeurs de x proches de a, jamais de x = a lui-même. Les fonctions \frac{x^2-4}{x-2} et x + 2 sont égales pour tout x \ne 2, donc elles ont la même limite en 2. Simplifier ne modifie la fonction qu'en l'unique point que la limite ignore.
Erreurs fréquentes
- Dire que \frac{0}{0} vaut zéro, un, ou « n'existe pas ». Ce n'est automatiquement aucun des trois. Cela veut dire « continuer le calcul ».
- Substituer dans une fonction qui n'est pas continue en a. Pour une fonction définie par morceaux, la valeur f(a) peut différer de la limite. Étudiez chaque côté.
- S'arrêter à \frac{a}{0}. Déterminez le signe de chaque côté pour savoir si la réponse est \infty, -\infty ou si la limite n'existe pas.
- Oublier de substituer après avoir simplifié. Tout l'intérêt de la factorisation est d'obtenir une expression dans laquelle on peut substituer.
Quand l'algèbre devient lourde, la règle de L'Hôpital traite \frac{0}{0} à l'aide des dérivées. Pour l'ensemble des techniques, consultez comment calculer une limite.
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