Teorema de Green: enunciado, orientación y ejemplos resueltos

El teorema de Green relaciona una integral de línea sobre una curva cerrada del plano con una integral doble sobre la región que encierra. Dice que la circulación total alrededor de la frontera es igual a la suma de todas las pequeñas circulaciones del interior.

Enunciado del teorema de Green

Sean

1. C una curva del plano cerrada simple, suave a trozos y orientada positivamente (en sentido antihorario),
2. D la región limitada por C, y
3. P(x, y) y Q(x, y) funciones con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D.

Entonces

En forma vectorial, con \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle, el lado izquierdo es la circulación \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} y el integrando de la derecha es el rotacional escalar Q_x - P_y.

Qué significa el teorema de Green

Divide D en cuadraditos y suma la circulación de \mathbf{F} alrededor de cada uno. Cada arista interior la recorren dos cuadrados vecinos en sentidos opuestos, así que esas contribuciones se cancelan. Solo sobrevive la frontera exterior. Por otro lado, la circulación alrededor de un cuadradito es aproximadamente (Q_x - P_y) por su área. Sumar de las dos maneras da el teorema de Green.

Por qué importa cada hipótesis

Orientación. Recorrer C en sentido horario invierte el signo de la integral de línea, mientras que la integral doble no cambia. Comprueba siempre el sentido.

Continuidad en todo el interior. El campo de vórtice

tiene Q_x - P_y = 0 en todos los puntos salvo en el origen, donde no está definido. Sobre la circunferencia unidad x = \cos t, y = \sin t, la integral de línea es \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi, no 0. El teorema de Green no se aplica porque el origen, que está dentro de D, es un punto donde P y Q ni siquiera están definidas.

Curva cerrada. Si la curva no se cierra, no hay región encerrada, así que el teorema no dice nada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: calcula \oint_C xy\,dx + x^2\,dy alrededor de la región de la gráfica.

Paso 1. P = xy y Q = x^2, así que Q_x - P_y = 2x - x = x.

Paso 2. La región es x^2 \le y \le x para 0 \le x \le 1:

Comprobación directa. A lo largo de y = x^2 (x = t, 0 \to 1) el integrando es t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt, que aporta \frac{3}{4}. A lo largo de y = x, de vuelta de (1, 1) a (0, 0), es 2t^2\,dt con t de 1 a 0, que aporta -\frac{2}{3}. El total es \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}. La misma respuesta, con más trabajo.

Ejemplo 2: área de una elipse. Elige P = -\frac{y}{2} y Q = \frac{x}{2}, de modo que Q_x - P_y = 1 y la integral doble es el área:

Para la elipse x = a\cos t, y = b\sin t, 0 \le t \le 2\pi: x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt. Así que A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab.

Ejemplo 3: un campo complicado, una respuesta fácil. Calcula \oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy sobre la circunferencia unidad, en sentido antihorario. Aquí Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2, así que la integral es 2 \cdot \text{area} = 2\pi.

Errores comunes

1. Cambiar el orden en el integrando. Es Q_x - P_y, no P_y - Q_x ni P_x - Q_y.
2. Ignorar la orientación. Una curva recorrida en sentido horario da la integral doble cambiada de signo.
3. Usarlo cuando hay una singularidad dentro. Comprueba que P y Q sean suaves en todo D, no solo sobre C.

Teoremas y guías relacionados

El teorema de Green es el caso plano del teorema de Stokes, y su forma de flujo es el teorema de la divergencia en dos dimensiones. Como Q_x - P_y = 0 para los campos gradiente por el teorema de Clairaut, los campos conservativos tienen circulación nula. Para las integrales dobles del lado derecho, consulta integrales dobles.