Teorema de Green: enunciado, orientação e exemplos resolvidos

O teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. Ele diz que a circulação total ao longo da fronteira é igual à soma de todas as pequenas circulações no interior.

Enunciado do teorema de Green

Sejam

1. C uma curva fechada simples, suave por partes e orientada positivamente (sentido anti-horário) no plano,
2. D a região limitada por C, e
3. P(x, y) e Q(x, y) com derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém D.

Então

Na forma vetorial, com \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle, o lado esquerdo é a circulação \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e o integrando do lado direito é o rotacional escalar Q_x - P_y.

O que o teorema de Green significa

Divida D em quadradinhos e some a circulação de \mathbf{F} em volta de cada um. Cada aresta interna é percorrida por dois quadradinhos vizinhos em sentidos opostos, então essas contribuições se cancelam. Só a fronteira externa sobrevive. Por outro lado, a circulação em volta de um quadradinho é aproximadamente (Q_x - P_y) vezes sua área. Somar das duas maneiras dá o teorema de Green.

Por que cada hipótese importa

Orientação. Percorrer C no sentido horário inverte o sinal da integral de linha, enquanto a integral dupla não muda. Sempre confira o sentido.

Continuidade em todo o interior. O campo de vórtice

tem Q_x - P_y = 0 em todos os pontos exceto a origem, onde não está definido. Na circunferência unitária x = \cos t, y = \sin t, a integral de linha é \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi, e não 0. O teorema de Green não se aplica porque a origem, dentro de D, é um ponto em que P e Q nem sequer estão definidas.

Curva fechada. Para uma curva que não se fecha, não existe região delimitada, então o teorema não diz nada.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: calcule \oint_C xy\,dx + x^2\,dy em volta da região do gráfico.

Passo 1. P = xy e Q = x^2, então Q_x - P_y = 2x - x = x.

Passo 2. A região é x^2 \le y \le x para 0 \le x \le 1:

Verificação direta. Ao longo de y = x^2 (x = t, 0 \to 1), o integrando é t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt, que contribui com \frac{3}{4}. Ao longo de y = x, voltando de (1, 1) para (0, 0), ele é 2t^2\,dt com t de 1 a 0, que contribui com -\frac{2}{3}. O total é \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}. Mesma resposta, mais trabalho.

Exemplo 2: área de uma elipse. Escolha P = -\frac{y}{2} e Q = \frac{x}{2}, de modo que Q_x - P_y = 1 e a integral dupla seja a área:

Para a elipse x = a\cos t, y = b\sin t, 0 \le t \le 2\pi: x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt. Logo A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab.

Exemplo 3: um campo complicado, uma resposta fácil. Calcule \oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy na circunferência unitária, no sentido anti-horário. Aqui Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2, então a integral é 2 \cdot \text{area} = 2\pi, ou seja, duas vezes a área do disco.

Erros comuns

1. Trocar a ordem no integrando. É Q_x - P_y, e não P_y - Q_x ou P_x - Q_y.
2. Ignorar a orientação. Uma curva percorrida no sentido horário dá o oposto da integral dupla.
3. Usar o teorema através de uma singularidade. Verifique se P e Q são suaves em toda a região D, e não apenas sobre C.

Teoremas e guias relacionados

O teorema de Green é o caso plano do teorema de Stokes, e sua forma de fluxo é o teorema da divergência em duas dimensões. Como Q_x - P_y = 0 para campos gradientes, pelo teorema de Clairaut, campos conservativos têm circulação nula. Para as integrais duplas do lado direito, veja integrais duplas.