Qu'est-ce qu'une limite en analyse ? Explication claire et visuelle

On peut remplacer x = 1 dans f(x) = x^2 + 1 et obtenir 2. Mais essayez de remplacer x = 1 dans \frac{x^2 - 1}{x - 1} et vous obtenez \frac{0}{0}, qui ne veut rien dire. Pourtant, la courbe se dirige clairement vers une hauteur précise près de x = 1. La limite est l'outil qui donne un nom à cette hauteur, et c'est l'idée sur laquelle repose tout le reste de l'analyse.

Qu'est-ce qu'une limite ? La définition en mots simples

Une limite est la valeur dont une fonction s'approche quand son entrée s'approche d'un certain nombre. On écrit

et on lit « la limite de f(x) quand x tend vers a vaut L ». Cela signifie : si l'on choisit des valeurs de x assez proches de a (mais différentes de a), les images f(x) deviennent aussi proches de L qu'on le souhaite.

L'expression clé est « mais différentes de a ». Une limite ne demande jamais ce qui se passe en ce point. Elle demande ce qui se passe près de ce point. C'est cette seule idée qui permet aux limites de traiter les trous, les sauts et les expressions \frac{0}{0} que l'arithmétique ordinaire ne sait pas gérer.

Lire la notation des limites

Chaque morceau de la notation a un rôle :

Une bonne habitude : dites la notation à voix haute chaque fois que vous l'écrivez. Cela vous garde concentré sur la tendance, et non sur le point isolé.

Une limite en un trou : l'exemple classique

Revenons à la fonction qui a mis en échec notre calculatrice :

En x = 1, elle n'est pas définie. Mais on peut regarder des valeurs proches.

Des deux côtés, les images se rapprochent de 2. Donc

même si f(1) n'existe pas. L'algèbre le confirme : pour tout x \neq 1,

donc la courbe est la droite y = x + 1 privée d'un seul point.

Astuce : un cercle vide sur une courbe signifie « la courbe arrive jusqu'ici, mais ce point précis manque ». La limite ne s'intéresse qu'à la direction de la courbe, donc un cercle vide n'empêche pas une limite d'exister.

Exemple corrigé 1 : lire une limite dans un tableau

Estimez \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} (avec x en radians).

Étape 1. Repérer le problème. En x = 0, on obtient \frac{0}{0}, donc on ne peut pas simplement substituer.

Étape 2. Essayer des valeurs proches de 0. \frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.9983, \frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998. Comme \frac{\sin x}{x} donne la même image pour x et -x, le côté gauche est identique.

Étape 3. Lire la tendance. Les images s'approchent de 1 des deux côtés, donc

Les tableaux sont utiles pour se forger une intuition, mais ils ne constituent pas une preuve. Un tableau peut être trompé par une fonction qui fait quelque chose d'étrange très près du point. C'est pourquoi on apprend aussi des méthodes algébriques, présentées dans comment calculer une limite.

Limites à gauche et à droite

Parfois, une fonction se comporte différemment de chaque côté d'un point. Les limites à gauche et à droite permettent de décrire chaque côté séparément.

• \lim_{x \to a^-} f(x) est la limite à gauche : on n'utilise que x < a.
• \lim_{x \to a^+} f(x) est la limite à droite : on n'utilise que x > a.

La règle qui les relie est le résultat le plus important de tout ce chapitre :

En mots : une limite des deux côtés n'existe que si les deux limites, à gauche et à droite, existent et sont égales.

Exemple corrigé 2 : un saut dans une fonction définie par morceaux

Soit

Trouvez les limites à gauche et à droite, puis la limite en x = 1.

Étape 1. Limite à gauche. Pour x < 1, la fonction vaut x + 1, donc \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2.

Étape 2. Limite à droite. Pour x > 1, la fonction vaut x - 2, donc \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - 2 = -1.

Étape 3. Comparer. Le côté gauche tend vers 2 et le côté droit vers -1. Elles sont différentes, donc \lim_{x \to 1} f(x) n'existe pas.

Étape 4. Ne pas confondre avec f(1). La valeur de la fonction est f(1) = 1 - 2 = -1. La fonction est définie en 1, mais la limite des deux côtés, elle, n'existe pas.

Exemple corrigé 3 : une limite différente de la valeur de la fonction

Soit g(x) = x^2 pour tout x \neq 2, et posons g(2) = 7. Que vaut \lim_{x \to 2} g(x) ?

Étape 1. Ignorer le point lui-même. La limite ne regarde que les x proches de 2, où g(x) = x^2.

Étape 2. Suivre la tendance. Quand x \to 2, x^2 \to 4 des deux côtés.

Étape 3. Donner la réponse. \lim_{x \to 2} g(x) = 4, alors que g(2) = 7.

C'est la démonstration la plus claire qu'une limite et une valeur de la fonction sont deux questions différentes. Quand elles coïncident, la fonction est continue en ce point, et c'est exactement ainsi qu'on définit la continuité.

Quand une limite n'existe-t-elle pas ?

Il y a trois façons courantes dont une limite en x = a peut ne pas exister.

1. Les limites à gauche et à droite sont différentes (un saut)

C'est l'exemple corrigé 2. Chaque côté se stabilise, mais à des hauteurs différentes. Les fonctions définies par morceaux et les expressions comme \frac{|x|}{x} (qui vaut -1 pour x < 0 et 1 pour x > 0) se comportent ainsi.

2. La fonction grandit sans borne (une asymptote verticale)

Près de x = 0, la fonction \frac{1}{x^2} monte vers l'infini des deux côtés. On écrit

mais c'est un raccourci pour une façon particulière de ne pas exister : il n'y a aucun nombre réel L dont les images s'approchent. Pour \frac{1}{x}, c'est pire, car le côté gauche tend vers -\infty et le côté droit vers +\infty, donc on ne peut même pas écrire \infty pour la limite des deux côtés.

3. La fonction oscille indéfiniment

La fonction \sin\left(\frac{1}{x}\right) oscille entre -1 et 1 une infinité de fois quand x \to 0. Elle ne se stabilise jamais à une hauteur, donc \lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right) n'existe pas.

Erreurs fréquentes avec les limites

1. Croire que la limite est la valeur de la fonction. f(a) et \lim_{x \to a} f(x) sont deux questions distinctes. Elles ne sont égales que si la fonction est continue en a.
2. Dire que \frac{0}{0} signifie que la limite n'existe pas. Un résultat \frac{0}{0} après substitution est un signal pour continuer le travail (factoriser, simplifier, utiliser l'expression conjuguée), pas une réponse. Souvent, la limite existe.
3. Ne vérifier qu'un seul côté. Si une fonction est définie différemment de chaque côté, il faut calculer les deux limites, à gauche et à droite, avant d'affirmer l'existence de la limite.
4. Traiter \infty comme un nombre. Écrire \lim = \infty décrit une croissance sans borne. On ne peut pas l'additionner, le soustraire ou le simplifier comme une valeur ordinaire.
5. Faire confiance à un tableau trop court. Quelques valeurs suggèrent une limite. L'algèbre ou un théorème la confirment.

Pourquoi les limites comptent pour la suite de l'analyse

Toutes les grandes idées de l'analyse sont des limites déguisées. La dérivée est la limite des pentes des sécantes quand les deux points se confondent. L'intégrale définie est la limite de sommes de rectangles de plus en plus fins. La continuité, les asymptotes et le comportement aux extrémités sont tous des énoncés sur des limites. Bien comprendre ce que signifie une limite maintenant rend tous les chapitres suivants plus faciles.

Forgez votre intuition des limites par l'entraînement

Les limites semblent abstraites tant qu'on n'a pas lu soi-même quelques dizaines de courbes et de tableaux. La leçon interactive ci-dessous vous propose des courbes, des tableaux et des fonctions définies par morceaux à lire, vérifie chaque réponse instantanément et vous montre exactement où une limite à gauche ou à droite, ou un trou, vous a piégé. Quelques minutes d'entraînement maintenant rendront les dérivées naturelles plus tard.