Dérivée d'un quotient (u/v)' : formule, astuce et exemples
La dérivée d'un quotient : (f/g)' = (f'g − fg')/g². La formule, un moyen mnémotechnique, des exemples corrigés, quand l'éviter et les erreurs fréquentes.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Un quotient de deux fonctions dérivables, partout où g(x) \ne 0
- En mots
- Dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, le tout sur le bas au carré
- L'ordre compte
- Oui, le numérateur contient une soustraction, donc on commence par f'g
- À éviter quand
- Le dénominateur est une constante ou une simple puissance de x
- Se déduit de
- La règle du produit et la dérivation en chaîne appliquées à f \cdot g^{-1}
Sur cette page
La règle du quotient donne la dérivée d'une fonction divisée par une autre. Comme la règle du produit, elle n'est pas ce que l'on devinerait au premier abord : la dérivée de \frac{f}{g} n'est pas \frac{f'}{g'}. Le numérateur contient une soustraction, donc l'ordre des termes compte.
La formule de la règle du quotient
Si f et g sont dérivables et g(x) \ne 0, alors
Pour la retenir, avec « le haut » pour le numérateur et « le bas » pour le dénominateur :
Dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, le tout sur le bas au carré.
Exemples corrigés
Exemple 1 : une fonction rationnelle. Pour \frac{x^2}{x + 1}, on prend f = x^2, f' = 2x, g = x + 1, g' = 1 :
Exemple 2 : simplifier le numérateur. Pour \frac{3x - 1}{x^2 + 1} :
Exemple 3 : la dérivée de \tan x. On écrit \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} :
Exemple 4 : une exponentielle sur une puissance. Pour \frac{e^x}{x} :
Quand se passer de la règle du quotient
Une fraction ne demande pas toujours la règle du quotient. Réécrire l'expression est souvent plus rapide et source de moins d'erreurs :
| Fonction | Réécriture | Dérivée |
|---|---|---|
| \frac{x^3}{5} | \frac{1}{5}x^3 | \frac{3}{5}x^2 |
| \frac{4}{x^2} | 4x^{-2} | -\frac{8}{x^3} |
| \frac{x^3 + x}{x} | x^2 + 1 (pour x \ne 0) | 2x |
| \frac{2}{\sqrt{x}} | 2x^{-1/2} | -x^{-3/2} |
La première ligne utilise la règle du produit par une constante ; les autres utilisent la règle de la puissance et la dérivée d'une somme.
D'où vient la règle du quotient
On écrit \frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}. La règle du produit et la dérivation en chaîne donnent
Si vous oubliez la formule, vous pouvez donc toujours revenir à la règle du produit.
Erreurs fréquentes
- Inverser l'ordre au numérateur. fg' - f'g donne l'opposé de la bonne réponse.
- Oublier d'élever le dénominateur au carré. En bas, c'est g^2, pas g.
- Diviser les dérivées. \left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}.
- Développer le dénominateur. Laissez (x+1)^2 sous forme factorisée. La réponse reste plus simple, et les zéros comme les changements de signe se lisent facilement.
- La confondre avec la règle de L'Hôpital. La règle de L'Hôpital dérive séparément le haut et le bas pour trouver une limite. La règle du quotient calcule une dérivée.
Pour une explication plus détaillée des deux règles ensemble, lisez le guide complet sur les règles du produit et du quotient.
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