AP Calculus BC Unidade 9: revisão de paramétricas, polares e vetores

A Unidade 9 de AP Calculus, Equações paramétricas, coordenadas polares e funções vetoriais (Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions), é a primeira das duas unidades exclusivas do BC. Ela tira as derivadas e integrais do eixo x e as leva para o plano: uma partícula se movendo ao longo de uma trajetória, uma curva dada pelo ângulo e pela distância até a origem, uma posição escrita como vetor. O cálculo é o mesmo. O que muda é a forma de montar o problema.

O que a Unidade 9 cobre

O College Board divide a unidade nestes tópicos. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

As ideias principais

Uma curva paramétrica é uma trajetória percorrida ao longo do tempo. Tanto x quanto y dependem de um parâmetro t. A inclinação é uma razão entre taxas:

Vetores reúnem o movimento. Se a posição é \vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle, então a velocidade é \vec{v}(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle e a aceleração é \vec{a}(t) = \langle x''(t), y''(t)\rangle. A velocidade escalar é o comprimento do vetor velocidade, e a distância total é a integral da velocidade escalar.

Curvas polares usam ângulo e distância. Um ponto é (r, \theta) com x = r\cos\theta e y = r\sin\theta. Para inclinações, derive x e y em relação a \theta e divida. Para a área, some setores finos:

Questões de exemplo

1. Inclinação e concavidade paramétricas. Para x = t^2 e y = t^3 - 3t:

Em t = 2 a inclinação é \frac{9}{4}. A curva tem tangentes horizontais em t = \pm 1. Para a concavidade, \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right), então em t = 2:

2. Comprimento de arco paramétrico. Para x = 2\cos t e y = 2\sin t em [0, \pi], (x')^2 + (y')^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4, então o comprimento é \int_0^\pi 2\,dt = 2\pi, metade do comprimento de uma circunferência de raio 2.

3. Movimento no plano. Uma partícula tem posição \vec{r}(t) = \langle t^2, 3t\rangle. Então \vec{v}(t) = \langle 2t, 3\rangle e \vec{a}(t) = \langle 2, 0\rangle. Em t = 2 a velocidade escalar é \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.

4. Área polar. A área dentro da cardioide r = 1 + \cos\theta é

usando \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0 e \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi.

Como estudar a Unidade 9

• Divida por \frac{dx}{dt} duas vezes. Ele aparece na primeira derivada e de novo na segunda. Esquecê-lo em \frac{d^2y}{dx^2} é o erro mais comum da Unidade 9.
• Trate os vetores uma componente de cada vez. Derive, integre e some as posições iniciais de x e y separadamente.
• Encontre primeiro as interseções polares. Para a área entre duas curvas polares, iguale os valores de r para obter os limites de \theta e depois use \frac{1}{2}\int \left(r_{\text{externo}}^2 - r_{\text{interno}}^2\right)d\theta.
• Use a calculadora onde for permitido. Muitas integrais de área polar e de comprimento de arco não têm antiderivada simples, então aparecem na parte com calculadora.
• Resolva listas de exercícios. Experimente os exercícios de paramétricas e polares, cada um com resolução completa.

Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus BC, ou compare os dois cursos no guia de AP Calculus AB.

AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem relação com o PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial curricular do College Board; consulte-o para ver eventuais mudanças.