AP Calculus BC unité 9 : paramétriques, polaires et vecteurs

L'unité 9 d'AP Calculus, équations paramétriques, coordonnées polaires et fonctions vectorielles (Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions), est la première des deux unités propres au BC. Elle fait sortir dérivées et intégrales de l'axe des x pour les emmener dans le plan : une particule qui suit une trajectoire, une courbe donnée par son angle et sa distance à l'origine, une position écrite sous forme de vecteur. L'analyse est la même. Ce qui change, c'est la mise en équation.

Ce que couvre l'unité 9

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

Les idées clés

Une courbe paramétrée est une trajectoire parcourue au cours du temps. x et y dépendent tous deux d'un paramètre t. La pente est un rapport de taux :

Les vecteurs regroupent le mouvement. Si la position est \vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle, alors la vitesse est \vec{v}(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle et l'accélération \vec{a}(t) = \langle x''(t), y''(t)\rangle. La vitesse scalaire est la norme du vecteur vitesse, et la distance totale est l'intégrale de la vitesse scalaire.

Les courbes polaires utilisent un angle et une distance. Un point s'écrit (r, \theta) avec x = r\cos\theta et y = r\sin\theta. Pour les pentes, dérivez x et y par rapport à \theta et divisez. Pour l'aire, additionnez de fins secteurs :

Exemples de questions

1. Pente et convexité en paramétrique. Pour x = t^2 et y = t^3 - 3t :

En t = 2, la pente vaut \frac{9}{4}. La courbe a des tangentes horizontales en t = \pm 1. Pour la convexité, \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right), donc en t = 2 :

2. Longueur d'arc en paramétrique. Pour x = 2\cos t et y = 2\sin t sur [0, \pi], (x')^2 + (y')^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4, donc la longueur vaut \int_0^\pi 2\,dt = 2\pi, la moitié du périmètre d'un cercle de rayon 2.

3. Mouvement dans le plan. Une particule a pour position \vec{r}(t) = \langle t^2, 3t\rangle. Alors \vec{v}(t) = \langle 2t, 3\rangle et \vec{a}(t) = \langle 2, 0\rangle. En t = 2, la vitesse scalaire vaut \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.

4. Aire en polaire. L'aire intérieure à la cardioïde r = 1 + \cos\theta vaut

en utilisant \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0 et \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi.

Comment réviser l'unité 9

• Divisez deux fois par \frac{dx}{dt}. Ce facteur apparaît dans la dérivée première et de nouveau dans la dérivée seconde. L'oublier dans \frac{d^2y}{dx^2} est l'erreur la plus fréquente de l'unité 9.
• Traitez les vecteurs composante par composante. Dérivez, intégrez et ajoutez les positions initiales séparément pour x et pour y.
• Trouvez d'abord les intersections en polaire. Pour l'aire entre deux courbes polaires, égalez les valeurs de r pour obtenir les bornes en \theta, puis utilisez \frac{1}{2}\int \left(r_{\text{ext}}^2 - r_{\text{int}}^2\right)d\theta.
• Utilisez la calculatrice quand elle est autorisée. Beaucoup d'intégrales d'aire polaire et de longueur d'arc n'ont pas de primitive simple, elles figurent donc dans la partie avec calculatrice.
• Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur les courbes paramétrées et polaires, tous avec solutions complètes.

Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus BC, ou comparez les deux cours avec le guide AP Calculus AB.

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