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Unidades de AP Calculus

AP Calculus Unidade 8: revisão de aplicações da integral (AB e BC)

Revisão da Unidade 8 de AP Calculus AB e BC: valor médio, movimento, área entre curvas, seções transversais, volumes e, no BC, comprimento de arco.

Unidades de AP Calculus Atualizado 4 min de leitura

Visão geral

Peso na prova AB
10–15%
Peso na prova BC
5–10%
Ideias centrais
Valor médio, variação total, área entre curvas, volumes
Só no BC
Comprimento de arco de uma curva plana suave
Vem antes de
Unidade 9, paramétricas e polares (BC), ou a revisão para a prova AB
Pratique aqui
Cálculo 1: Aplicações da integral
Nesta página
  1. O que a Unidade 8 cobre
  2. As ideias principais
  3. Questões de exemplo
  4. Como estudar a Unidade 8

A Unidade 8 de AP Calculus, Aplicações da integral (Applications of Integration), é onde as integrais medem coisas. A integral de uma velocidade é um deslocamento. A integral de uma diferença de alturas é uma área. A integral da área de uma seção transversal é um volume. A ideia por trás de todos os tópicos é a mesma: fatie a grandeza em pedaços finos, escreva um pedaço e some todos com uma integral.

AP Calculus AB AP Calculus BC
Peso na prova 10–15% 5–10%
Tópicos extras nenhum comprimento de arco

O que a Unidade 8 cobre

O College Board divide a unidade nestes tópicos. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

Tópico O que você aprende Prática
Valor médio \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx Valor médio
Movimento com integrais Posição, deslocamento e distância total a partir da velocidade Variação total
Acumulação em contexto Quantidade no instante t a partir de uma quantidade inicial mais uma taxa Variação total
Área entre curvas Integrar em relação a x ou a y, e com várias interseções Área entre curvas
Seções transversais Quadrados, retângulos, triângulos e semicírculos Volumes por seções transversais
Método dos discos Rotação em torno dos eixos e de outras retas Volumes por discos
Método dos anéis Rotação de uma região com um buraco Volumes por anéis
Comprimento de arco (BC) \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx Comprimento de arco

As ideias principais

A variação total é a integral de uma taxa. Se x(t) é a posição e v(t) é a velocidade, então x(b) = x(a) + \int_a^b v(t)\,dt. A distância total usa |v(t)|, então divida a integral onde v muda de sinal.

A área entre curvas é a de cima menos a de baixo. Encontre onde as curvas se cruzam, decida qual está em cima e integre a diferença. Se as curvas forem mais fáceis de escrever como x = g(y), integre a da direita menos a da esquerda em relação a y.

A região entre y = x e y = x²
As curvas se cruzam em x = 0 e x = 1. A área é \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{6}.

O volume é a integral da área de uma seção transversal. Para seções transversais conhecidas, escreva a área de uma fatia A(x) e calcule \int_a^b A(x)\,dx. Para um disco, A(x) = \pi R^2. Para um anel, A(x) = \pi\left(R^2 - r^2\right), em que R e r são distâncias até o eixo de rotação. Os guias de área entre curvas e de volumes de revolução vão além.

Questões de exemplo

1. Valor médio. O valor médio de f(x) = x^2 em [0, 3] é \frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

2. Deslocamento e distância. Para v(t) = t^2 - 4 em [0, 3], o deslocamento é \int_0^3 (t^2 - 4)\,dt = 9 - 12 = -3. A velocidade muda de sinal em t = 2, então a distância total é

\int_0^2 (4 - t^2)\,dt + \int_2^3 (t^2 - 4)\,dt = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}

3. Área entre curvas. Em [0, 1], y = x está acima de y = x^2, então a área é \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

4. Método dos anéis. Gire a mesma região em torno do eixo x. O raio externo é x e o raio interno é x^2:

V = \pi\int_0^1 \left(x^2 - x^4\right)dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}

5. Seções transversais quadradas. Se a mesma região é a base de um sólido cujas seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados, cada lado mede x - x^2:

V = \int_0^1 (x - x^2)^2\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30}

6. BC: comprimento de arco. Para y = \frac{2}{3}x^{3/2} em [0, 3], y' = \sqrt{x}, então

L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \left[\frac{2}{3}(1 + x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}

Como estudar a Unidade 8

  • Esboce a região primeiro. Um desenho rápido mostra qual curva está em cima e de onde partem os raios.
  • Meça os raios a partir do eixo de rotação. Ao girar em torno de y = -1, o raio é f(x) + 1, e não f(x).
  • Monte primeiro, calcule depois. As questões dissertativas costumam dizer "escreva, mas não calcule, uma expressão com integral". Pratique montagens limpas, com os limites corretos e o \pi.
  • Separe deslocamento de distância. Sempre que aparecer "distância total", verifique onde a velocidade é negativa.
  • Resolva listas de exercícios. Experimente os exercícios de área entre curvas e os exercícios de volume de revolução, cada um com resolução completa.

Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus AB ou o guia de AP Calculus BC.

AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem relação com o PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial curricular do College Board; consulte-o para ver eventuais mudanças.

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Área entre curvas

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Perguntas frequentes

Sobre o que é a Unidade 8 de AP Calculus?
A Unidade 8 usa integrais definidas para encontrar grandezas reais: o valor médio de uma função, posição e distância a partir da velocidade, quantidades acumuladas em contexto, a área entre curvas e volumes de sólidos com seções transversais conhecidas ou gerados pela rotação de uma região.

Quanto da prova de AP vale a Unidade 8?
A Unidade 8 vale de 10 a 15 por cento da nota de múltipla escolha no AP Calculus AB e de 5 a 10 por cento no AP Calculus BC. Uma questão dissertativa de área e volume aparece em quase todas as provas.

Qual é a diferença da Unidade 8 entre AB e BC?
Os tópicos são os mesmos, com uma exceção: o BC acrescenta o comprimento de arco de uma curva suave, L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2}\,dx.

O método das cascas cilíndricas cai na prova de AP Calculus?
O currículo de AP usa os métodos dos discos e dos anéis e as seções transversais conhecidas, então são esses os métodos a dominar. O método das cascas cilíndricas não faz parte do currículo.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

Criamos lições interativas de cálculo e escrevemos cada página para ser clara e correta. Viu algo errado? Avise e nós corrigimos.

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