Exercícios de continuidade de funções resolvidos, com respostas

Estes exercícios de continuidade cobrem a definição com três condições, funções definidas por partes, como achar uma constante que torna a função contínua, a classificação de descontinuidades, os intervalos de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

Uma função f é contínua em x = a quando as três condições valem:

Para saber mais sobre a ideia, leia o guia de continuidade.

Exercícios

É contínua?

1. f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} é contínua em x = 1? Se não for, como você poderia corrigi-la?
2. f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 2 \\ 3x - 1 & x \ge 2 \end{cases} é contínua em x = 2?
3. f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + 4 & x > 1 \end{cases} é contínua em x = 1?
4. f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} é contínua em x = 0?

Torne a função contínua

5. Encontre k de modo que f(x) = \begin{cases} kx + 3 & x < 2 \\ x^2 - k & x \ge 2 \end{cases} seja contínua em todos os pontos.
6. Encontre a e b de modo que f(x) = \begin{cases} 3x + a & x < 1 \\ x^2 + bx & 1 \le x \le 2 \\ 10 & x > 2 \end{cases} seja contínua em todos os pontos.

Tipos de descontinuidade e domínios

7. Encontre e classifique as descontinuidades de f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}.
8. Onde f(x) = \dfrac{\ln(x - 4)}{x - 6} é contínua?
9. Onde f(x) = \sqrt{9 - x^2} é contínua?

Teorema do Valor Intermediário

10. Mostre que x^3 + x - 1 = 0 tem uma solução entre 0 e 1.
11. Mostre que \cos x = x tem uma solução em \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
12. f(x) = \frac{1}{x} tem f(-1) = -1 e f(1) = 1. O TVI garante que f tem um zero em [-1, 1]?

Respostas

Resolução passo a passo

1. Em x = 1 o denominador é 0, então f(1) não está definida e f não é contínua nesse ponto. O limite, porém, existe:

Trata-se de uma descontinuidade removível, um buraco em (1, 2). Definir f(1) = 2 preenche o buraco e torna f contínua.

2. Verifique as três condições:

• Limite à esquerda: 2^2 + 1 = 5.
• Limite à direita: 3(2) - 1 = 5.
• Valor: f(2) = 3(2) - 1 = 5.

Os três coincidem, então f é contínua em x = 2.

3. O limite à esquerda é 2(1) + 1 = 3 e o limite à direita é 1^2 + 4 = 5. Os limites laterais são diferentes, então o limite não existe. É uma descontinuidade de salto.

4. O valor é f(0) = 1, e o limite fundamental dá \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Eles coincidem, então f é contínua em 0.

5. Cada parte é um polinômio, então só é preciso verificar x = 2. Iguale o limite à esquerda ao limite à direita:

6. Há dois pontos de quebra, então você obtém duas equações.

Em x = 2: a parte do meio dá 4 + 2b e a parte da direita dá 10, logo b = 3.

Em x = 1: a parte da esquerda dá 3 + a e a parte do meio dá 1 + b = 4, logo a = 1.

7. Fatore o denominador: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), então f não está definida em x = 2 e x = 3.

Em x = 2 o limite é \frac{1}{2 - 3} = -1, então essa é uma descontinuidade removível. Em x = 3 a forma simplificada ainda tem denominador zero, então f\to\pm\infty: uma descontinuidade infinita, com assíntota vertical.

8. O logaritmo exige x - 4 > 0, ou seja, x > 4. O denominador exige x \ne 6. Juntando as duas condições, f é contínua em (4, 6)\cup(6, \infty).

9. A raiz exige 9 - x^2 \ge 0, ou seja, -3 \le x \le 3. A função é contínua no intervalo fechado [-3, 3], com continuidade lateral nas extremidades.

10. Seja f(x) = x^3 + x - 1. É um polinômio, então é contínua em [0, 1]. Como f(0) = -1 e f(1) = 1, o valor 0 está entre eles. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c em (0, 1) com f(c) = 0.

11. Reescreva como g(x) = \cos x - x = 0. A função g é contínua em toda parte. Verifique as extremidades:

O sinal muda, então pelo TVI existe c em \left(0, \frac{\pi}{2}\right) com \cos c = c.

12. Não. O TVI exige que f seja contínua em todo o intervalo fechado, e \frac{1}{x} não está definida em 0. O teorema não diz nada aqui e, de fato, \frac{1}{x} nunca é 0.

Erros comuns nestes exercícios

• Verificar só o limite. No exercício 1 o limite existe, mas a função continua descontínua porque f(1) não existe.
• Usar a parte errada no ponto de quebra. No exercício 2, f(2) vem da parte com x \ge 2. Leia os sinais de desigualdade com atenção.
• Verificar só um ponto de quebra. O exercício 6 tem dois pontos de quebra, e cada um dá a sua própria equação.
• Aplicar o TVI sem continuidade. O exercício 12 mostra que uma troca de sinal sozinha não prova nada.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a lição de continuidade e a lição do Teorema do Valor Intermediário. A continuidade também é a primeira hipótese do Teorema do Valor Médio, que você pode praticar em seguida.