Ejercicios de continuidad de funciones resueltos con respuestas

Estos ejercicios de continuidad cubren la definición en tres partes, funciones definidas por partes, hallar una constante que haga continua una función, clasificar discontinuidades, dominios de continuidad y el Teorema del Valor Intermedio. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Una función f es continua en x = a cuando se cumplen las tres condiciones:

Para profundizar en la idea, lee la guía de continuidad.

Ejercicios

¿Es continua?

1. ¿Es f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} continua en x = 1? Si no lo es, ¿cómo podrías arreglarla?
2. ¿Es f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 2 \\ 3x - 1 & x \ge 2 \end{cases} continua en x = 2?
3. ¿Es f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + 4 & x > 1 \end{cases} continua en x = 1?
4. ¿Es f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} continua en x = 0?

Hazla continua

5. Halla k para que f(x) = \begin{cases} kx + 3 & x < 2 \\ x^2 - k & x \ge 2 \end{cases} sea continua en todo punto.
6. Halla a y b para que f(x) = \begin{cases} 3x + a & x < 1 \\ x^2 + bx & 1 \le x \le 2 \\ 10 & x > 2 \end{cases} sea continua en todo punto.

Tipos de discontinuidad y dominios

7. Halla y clasifica las discontinuidades de f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}.
8. ¿Dónde es continua f(x) = \dfrac{\ln(x - 4)}{x - 6}?
9. ¿Dónde es continua f(x) = \sqrt{9 - x^2}?

Teorema del Valor Intermedio

10. Demuestra que x^3 + x - 1 = 0 tiene una solución entre 0 y 1.
11. Demuestra que \cos x = x tiene una solución en \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
12. f(x) = \frac{1}{x} cumple f(-1) = -1 y f(1) = 1. ¿Dice el TVI que f tiene un cero en [-1, 1]?

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. En x = 1 el denominador es 0, así que f(1) no está definida y f no es continua ahí. El límite sí existe:

Es una discontinuidad evitable, un hueco en (1, 2). Definir f(1) = 2 rellena el hueco y hace que f sea continua.

2. Comprueba las tres condiciones:

• Límite por la izquierda: 2^2 + 1 = 5.
• Límite por la derecha: 3(2) - 1 = 5.
• Valor: f(2) = 3(2) - 1 = 5.

Los tres coinciden, así que f es continua en x = 2.

3. El límite por la izquierda es 2(1) + 1 = 3 y el límite por la derecha es 1^2 + 4 = 5. Los límites laterales son distintos, así que el límite no existe. Es una discontinuidad de salto.

4. El valor es f(0) = 1, y el límite notable da \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Coinciden, así que f es continua en 0.

5. Cada trozo es un polinomio, así que solo hay que revisar x = 2. Iguala el límite por la izquierda con el límite por la derecha:

6. Hay dos puntos de corte, así que obtienes dos ecuaciones.

En x = 2: el trozo central da 4 + 2b y el trozo de la derecha da 10, así que b = 3.

En x = 1: el trozo de la izquierda da 3 + a y el trozo central da 1 + b = 4, así que a = 1.

7. Factoriza el denominador: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), así que f no está definida en x = 2 ni en x = 3.

En x = 2 el límite es \frac{1}{2 - 3} = -1, así que es una discontinuidad evitable. En x = 3 la forma simplificada sigue teniendo denominador cero, así que f\to\pm\infty: una discontinuidad infinita con asíntota vertical.

8. El logaritmo necesita x - 4 > 0, es decir, x > 4. El denominador necesita x \ne 6. Combinando ambas condiciones, f es continua en (4, 6)\cup(6, \infty).

9. La raíz necesita 9 - x^2 \ge 0, es decir, -3 \le x \le 3. La función es continua en el intervalo cerrado [-3, 3], con continuidad lateral en los extremos.

10. Sea f(x) = x^3 + x - 1. Es un polinomio, así que es continua en [0, 1]. Como f(0) = -1 y f(1) = 1, el valor 0 está entre ambos. Por el Teorema del Valor Intermedio existe un c en (0, 1) con f(c) = 0.

11. Reescribe como g(x) = \cos x - x = 0. La función g es continua en todo punto. Comprueba los extremos:

El signo cambia, así que por el TVI existe un c en \left(0, \frac{\pi}{2}\right) con \cos c = c.

12. No. El TVI necesita que f sea continua en todo el intervalo cerrado, y \frac{1}{x} no está definida en 0. El teorema no dice nada aquí, y de hecho \frac{1}{x} nunca vale 0.

Errores comunes en estos ejercicios

• Comprobar solo el límite. En el ejercicio 1 el límite existe, pero la función sigue siendo discontinua porque f(1) no existe.
• Usar el trozo equivocado en el punto de corte. En el ejercicio 2, f(2) sale del trozo con x \ge 2. Lee con atención los signos de desigualdad.
• Revisar solo un punto de corte. El ejercicio 6 tiene dos puntos de corte, y cada uno da su propia ecuación.
• Aplicar el TVI sin continuidad. El ejercicio 12 muestra que un cambio de signo por sí solo no demuestra nada.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de continuidad y la lección del Teorema del Valor Intermedio. La continuidad es también la primera hipótesis del Teorema del Valor Medio, que puedes practicar a continuación.