Arco-tangente arctg(x): Gráfico, Assíntotas, Derivada e Integral

A função arco-tangente desfaz a tangente: \arctan x é o ângulo em \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) cuja tangente é x. Diferente do arco-seno e do arco-cosseno, ela aceita qualquer número real, porque a tangente assume todos os valores reais. No cálculo, ela é famosa como primitiva de \frac{1}{1+x^2}.

Definição de arctg x

Como \tan y é a inclinação de uma reta com ângulo y, você pode pensar em \arctan m como o ângulo que uma reta de inclinação m forma com o semieixo positivo x. Por exemplo, \arctan 1 = \frac{\pi}{4}: uma reta de inclinação 1 forma um ângulo de 45 graus.

Gráfico de y = arctg x

Valores notáveis do arco-tangente

Propriedades do arco-tangente

• Domínio todos os reais, imagem \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). As extremidades nunca são atingidas.
• Crescente e ímpar. \arctan(-x) = -\arctan x.
• Limites no infinito. \lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2} e \lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}. Veja limites no infinito.
• Cancelamento. \tan(\arctan x) = x para todo x; \arctan(\tan x) = x somente para x em \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).
• Identidade do inverso. Para x > 0, \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}.

Derivada de arctg x

Por quê. Seja y = \arctan x, então \tan y = x. A derivação implícita dá \sec^2 y\cdot y' = 1, logo y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}.

A derivada é sempre positiva e máxima em x = 0, onde vale 1. Ela diminui em direção a 0 conforme |x| cresce, acompanhando o achatamento do gráfico.

Integrais envolvendo o arco-tangente

Elas aparecem sempre que há uma quadrática irredutível no denominador, o que é comum em frações parciais.

A integral do próprio arco-tangente usa integração por partes com u = \arctan x, dv = dx:

Não é preciso módulo porque 1 + x^2 > 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra da cadeia. Derive f(x) = \arctan(2x):

Exemplo 2: uma integral imprópria.

Esta é uma integral imprópria convergente clássica.

Exemplo 3: completando o quadrado. Calcule \int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. Escreva x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 e use a = 2:

Exemplo 4: uma integral definida. \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}.

Erros comuns

1. Escrever a derivada como \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. O arco-tangente não tem raiz quadrada. A raiz pertence ao arco-seno e ao arco-cosseno (com 1 - x^2).
2. Esquecer o \frac{1}{a}. \int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C, e não \arctan\frac{x}{3} + C.
3. Ler \tan^{-1}x como \cot x. \frac{1}{\tan x} é a cotangente, uma função diferente (veja funções trigonométricas recíprocas).
4. Responder fora da imagem. \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, e não \frac{3\pi}{4}.

Como o arco-tangente se conecta a outros tópicos

A substituição x = a\tan\theta na substituição trigonométrica produz respostas com arco-tangente. Sua série de potências, \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots para |x| \le 1, vem da integração da série geométrica de \frac{1}{1+x^2}, e em x = 1 ela dá a famosa \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots.