Função Cosseno cos(x): Gráfico, Derivada, Integral e Propriedades

A função cosseno recebe um ângulo x, medido em radianos, e devolve a coordenada x do ponto correspondente a esse ângulo no círculo trigonométrico. Seu gráfico é a mesma onda do seno, deslocada um quarto de período para a esquerda, então começa no pico em vez de começar em zero.

Definição de cos x

Percorra uma distância x no sentido anti-horário sobre o círculo trigonométrico a partir de (1, 0). O ponto que você alcança é (\cos x, \sin x), então

Ou seja, o cosseno é a abscissa desse ponto. Para um ângulo agudo num triângulo retângulo, isso é a razão \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, isto é, cateto adjacente sobre hipotenusa.

Gráfico de y = cos x

Valores notáveis do cosseno

Repare que a linha é a do seno lida de trás para frente em \left[0, \frac{\pi}{2}\right], porque \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right).

Propriedades da função cosseno

• Domínio e imagem. Entram todos os números reais, saem valores em [-1, 1].
• Período. \cos(x + 2\pi) = \cos x, e A\cos(bx) tem amplitude |A| e período \frac{2\pi}{|b|}.
• Zeros. \cos x = 0 exatamente quando x = \frac{\pi}{2} + k\pi para algum inteiro k. São os pontos onde a tangente e a secante têm assíntotas verticais.
• Simetria par. \cos(-x) = \cos x.
• Identidades. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 e a fórmula do arco duplo \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x.

Derivada de cos x

O sinal de menos faz sentido no gráfico: logo depois de x = 0 o cosseno está descendo, e -\sin x é negativo ali. Em x = \pi o cosseno atinge o mínimo, e -\sin\pi = 0. A derivada segunda é -\cos x, então o cosseno, assim como o seno, satisfaz y'' = -y.

Com a regra da cadeia, \frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'.

Integral de cos x

Por exemplo, \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra da cadeia. Derive f(x) = \cos(4x - 1). A derivada de dentro é 4, então f'(x) = -4\sin(4x - 1).

Exemplo 2: potência do cosseno. Derive g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3. A potência de fora dá 3\cos^2 x e a parte de dentro dá -\sin x:

Exemplo 3: substituição. Calcule \int x\cos(x^2)\,dx. Seja u = x^2, então du = 2x\,dx:

Exemplo 4: uma reta tangente. Em x = \frac{\pi}{2}, \cos x = 0 e a inclinação é -\sin\frac{\pi}{2} = -1. A reta tangente é y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right).

Erros comuns

1. Esquecer o sinal de menos. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, e não \sin x. Uma dica para memorizar: as derivadas das funções "co" (cosseno, cotangente, cossecante) têm todas um sinal de menos.
2. Colocar um sinal de menos na integral. \int\cos x\,dx = \sin x + C, sem sinal de menos.
3. Interpretar mal \cos^2 x. \cos^2 x significa (\cos x)^2, e não \cos(\cos x) nem \cos(x^2).
4. Esquecer a derivada de dentro. \frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x), e não -\sin(2x).

Como o cosseno se conecta a outros tópicos

O cosseno é o denominador da tangente e o inverso multiplicativo da secante (veja funções trigonométricas recíprocas). Restrito a [0, \pi], ele tem como inversa o arco-cosseno. Em Cálculo 2 você vai integrar potências do cosseno usando a identidade \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} e conhecer sua série de Taylor \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots. Para praticar mais a derivação, veja o guia de derivadas das funções trigonométricas.