Kosinusfunktion cos(x): Graph, Ableitung, Integral und Eigenschaften

Die Kosinusfunktion nimmt einen Winkel x im Bogenmaß und liefert die x-Koordinate des Punktes zu diesem Winkel auf dem Einheitskreis. Ihr Graph ist dieselbe Welle wie beim Sinus, nur um eine Viertelperiode nach links verschoben, sodass er an seinem Hochpunkt statt bei null beginnt.

Definition von cos x

Laufe vom Punkt (1, 0) aus die Strecke x gegen den Uhrzeigersinn um den Einheitskreis. Der erreichte Punkt ist (\cos x, \sin x), also

Für einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist das das Verhältnis \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, also Ankathete durch Hypotenuse.

Graph von y = cos x

Wichtige Werte des Kosinus

Die Zeile ist auf \left[0, \frac{\pi}{2}\right] die Sinuszeile rückwärts gelesen, denn \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right).

Eigenschaften der Kosinusfunktion

• Definitionsbereich und Wertebereich. Alle reellen Zahlen als Eingabe, Werte in [-1, 1] als Ausgabe.
• Periode. \cos(x + 2\pi) = \cos x, und A\cos(bx) hat die Amplitude |A| und die Periode \frac{2\pi}{|b|}.
• Nullstellen. \cos x = 0 genau dann, wenn x = \frac{\pi}{2} + k\pi für eine ganze Zahl k ist. An diesen Stellen haben Tangens und Sekans senkrechte Asymptoten.
• Achsensymmetrie. \cos(-x) = \cos x.
• Identitäten. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 und die Doppelwinkelformel \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x.

Ableitung von cos x

Das Minuszeichen passt zum Graphen: Kurz nach x = 0 fällt der Kosinus, und -\sin x ist dort negativ. Bei x = \pi erreicht der Kosinus seinen Tiefpunkt, und -\sin\pi = 0. Die zweite Ableitung ist -\cos x, daher erfüllt der Kosinus, wie der Sinus, die Gleichung y'' = -y.

Mit der Kettenregel gilt \frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'.

Integral von cos x

Zum Beispiel ist \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. Leite f(x) = \cos(4x - 1) ab. Die innere Ableitung ist 4, also f'(x) = -4\sin(4x - 1).

Beispiel 2: Potenz des Kosinus. Leite g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3 ab. Die äußere Potenz liefert 3\cos^2 x, die innere Funktion -\sin x:

Beispiel 3: Substitutionsregel. Berechne \int x\cos(x^2)\,dx. Setze u = x^2, also du = 2x\,dx:

Beispiel 4: eine Tangente. Bei x = \frac{\pi}{2} ist \cos x = 0 und die Steigung -\sin\frac{\pi}{2} = -1. Die Tangente lautet y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right).

Häufige Fehler

1. Das Minuszeichen vergessen. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, nicht \sin x. Eine Merkhilfe: Die Ableitungen der "Ko"-Funktionen (Kosinus, Kotangens, Kosekans) haben alle ein Minuszeichen.
2. Beim Integral ein Minuszeichen ergänzen. \int\cos x\,dx = \sin x + C ohne Minuszeichen.
3. \cos^2 x falsch lesen. \cos^2 x bedeutet (\cos x)^2, weder \cos(\cos x) noch \cos(x^2).
4. Die innere Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x), nicht -\sin(2x).

Zusammenhänge mit anderen Themen

Der Kosinus steht im Nenner des Tangens und ist der Kehrwert des Sekans (siehe reziproke trigonometrische Funktionen). Auf [0, \pi] eingeschränkt hat er die Umkehrfunktion Arkuskosinus. In Analysis 2 integrierst du Potenzen des Kosinus mit der Identität \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} und lernst seine Taylorreihe \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots kennen. Mehr Übung beim Ableiten bietet der Leitfaden zu den Ableitungen trigonometrischer Funktionen.