Función coseno cos(x): gráfica, derivada, integral y propiedades

La función coseno toma un ángulo x, medido en radianes, y devuelve la coordenada x del punto de ese ángulo en la circunferencia unitaria. Su gráfica es la misma onda que la del seno, desplazada un cuarto de periodo hacia la izquierda, así que empieza en su máximo en lugar de en cero.

Definición de cos x

Recorre una distancia x en sentido antihorario sobre la circunferencia unitaria a partir de (1, 0). El punto al que llegas es (\cos x, \sin x), así que

Para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, es el cociente \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, es decir, cateto adyacente entre hipotenusa.

Gráfica de y = cos x

Valores clave del coseno

Observa que en \left[0, \frac{\pi}{2}\right] la fila es la del seno leída al revés, porque \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right).

Propiedades de la función coseno

• Dominio y rango. Acepta todos los números reales y devuelve valores en [-1, 1].
• Periodo. \cos(x + 2\pi) = \cos x, y A\cos(bx) tiene amplitud |A| y periodo \frac{2\pi}{|b|}.
• Ceros. \cos x = 0 exactamente cuando x = \frac{\pi}{2} + k\pi con k entero. Son los puntos donde la tangente y la secante tienen asíntotas verticales.
• Simetría par. \cos(-x) = \cos x.
• Identidades. \sin^2 x + \cos^2 x = 1, y la fórmula del ángulo doble \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x.

Derivada de cos x

El signo menos tiene sentido en la gráfica: justo después de x = 0 el coseno está bajando, y -\sin x es negativo allí. En x = \pi el coseno toca fondo, y -\sin\pi = 0. La segunda derivada es -\cos x, así que el coseno, igual que el seno, cumple y'' = -y.

Con la regla de la cadena, \frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'.

Integral de cos x

Por ejemplo, \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla de la cadena. Deriva f(x) = \cos(4x - 1). La derivada interior es 4, así que f'(x) = -4\sin(4x - 1).

Ejemplo 2: potencia del coseno. Deriva g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3. La potencia exterior da 3\cos^2 x y el interior da -\sin x:

Ejemplo 3: sustitución (cambio de variable). Calcula \int x\cos(x^2)\,dx. Sea u = x^2, de modo que du = 2x\,dx:

Ejemplo 4: una recta tangente. En x = \frac{\pi}{2}, \cos x = 0 y la pendiente es -\sin\frac{\pi}{2} = -1. La recta tangente es y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right).

Errores comunes

1. Olvidar el signo menos. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, no \sin x. Un truco para recordarlo: las derivadas de las funciones "co" (coseno, cotangente, cosecante) llevan todas un signo menos.
2. Añadir un signo menos a la integral. \int\cos x\,dx = \sin x + C, sin signo menos.
3. Leer mal \cos^2 x. \cos^2 x significa (\cos x)^2, no \cos(\cos x) ni \cos(x^2).
4. Olvidar la derivada interior. \frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x), no -\sin(2x).

Cómo se relaciona el coseno con otros temas

El coseno es el denominador de la tangente y el recíproco de la secante (consulta las funciones trigonométricas recíprocas). Restringido a [0, \pi], tiene como inversa el arcocoseno. En Cálculo 2 integrarás potencias del coseno con la identidad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} y conocerás su serie de Taylor \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots. Para practicar más su derivada, consulta la guía de derivadas de funciones trigonométricas.