Propriedades da integral definida: regras, simetria e exemplos
As propriedades da integral definida: inverter os limites, intervalo de largura zero, aditividade, simetria de funções pares e ímpares e comparação.
Regras de integração Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Largura zero
- \int_a^a f(x)\,dx = 0
- Limites invertidos
- \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx
- Constante
- \int_a^b k\,dx = k(b - a)
- Função ímpar
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0
- Função par
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx
- Comparação
- Se f(x) \le g(x) em [a, b], então \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx
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As propriedades da integral definida são as regras para manipular \int_a^b f(x)\,dx sem calculá-la do zero: inverter os limites, dividir intervalos, usar simetria e estimar o tamanho. Todas decorrem de ver a integral como área com sinal, ou do Teorema Fundamental do Cálculo.
As propriedades
Suponha que f e g sejam integráveis nos intervalos envolvidos.
| Propriedade | Enunciado |
|---|---|
| Largura zero | \int_a^a f(x)\,dx = 0 |
| Limites invertidos | \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx |
| Constante | \int_a^b k\,dx = k(b-a) |
| Linearidade | \int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx |
| Aditividade | \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx |
| Comparação | f \le g em [a,b] \Rightarrow \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx |
| Limitação | m \le f \le M em [a,b] \Rightarrow m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a) |
| Simetria ímpar | f(-x) = -f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 0 |
| Simetria par | f(-x) = f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx |
As propriedades de comparação e de limitação supõem a < b. A aditividade vale para qualquer ordem de a, b e c, desde que f seja integrável nos intervalos, graças à regra dos limites invertidos.
Por que valem
Se F é uma antiderivada (primitiva) de f, então \int_a^b f\,dx = F(b) - F(a). A partir daí, cada propriedade é uma linha de álgebra:
- largura zero: F(a) - F(a) = 0;
- limites invertidos: F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right);
- aditividade: \left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a).
A linearidade tem sua própria página: linearidade da integral.
Simetria: funções pares e ímpares
![Área com sinal da função ímpar y = x³ − 2x em [−1.5, 1.5]](https://practicecalculus.com/pt/regras/propriedades-da-integral-definida/graphs/0.svg)
Uma função ímpar é simétrica em relação à origem, então cada pedaço de área positiva tem um pedaço correspondente de área negativa. Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, então as duas metades são iguais e você pode dobrar uma delas. Verificar a simetria primeiro pode transformar um cálculo longo em uma linha.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: simetria ímpar. x^5 - 4x^3 + \sin x é ímpar, então
Exemplo 2: simetria par. x^2 é par, então
Exemplo 3: aditividade e limites invertidos. Dados \int_0^5 f(x)\,dx = 10 e \int_0^2 f(x)\,dx = 3:
Exemplo 4: um módulo. Divida onde o conteúdo do módulo muda de sinal. Em [-1, 0], \lvert x\rvert = -x; em [0, 2], \lvert x\rvert = x:
Exemplo 5: estimando com limitações. Em [0, 1], e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1, então
Essa integral não tem antiderivada elementar, mas as limitações a encurralam. Seu valor real é cerca de 0.747.
Erros comuns
- Usar simetria em um intervalo não simétrico. \int_{-1}^{2} x^3\,dx não é 0. O intervalo precisa ser [-a, a].
- Dizer que uma função é ímpar sem verificar. x^3 + 1 não é nem ímpar nem par, então \int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2, não 0.
- Esquecer a troca de sinal ao inverter os limites.
- Confundir área com sinal com área total. \int_{-1}^{1} x\,dx = 0, mas a área sombreada total é 1. Para área, integre \lvert f(x)\rvert, como em área entre curvas.
Para ver como essas propriedades se ligam às somas de Riemann e ao cálculo de integrais, veja os guias de somas de Riemann e do Teorema Fundamental do Cálculo.
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A integral definida como área
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