Linearidade da integral: soma, diferença e constante multiplicativa
As regras de linearidade da integral: integre somas termo a termo e tire constantes para fora. Fórmulas, exemplos e os erros com produtos e quocientes.
Regras de integração Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Regra da soma
- \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Regra da diferença
- \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Regra da constante multiplicativa
- \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx para qualquer constante k
- Não se aplica a
- Produtos e quocientes: \int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx
- Vale para
- Integrais indefinidas e definidas
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As regras de linearidade dizem que a integração respeita a soma e a multiplicação por constante. Você pode separar uma soma em integrais distintas e colocar fatores constantes para fora do sinal de integral. Junto com a regra da potência inversa, elas permitem integrar qualquer polinômio em uma linha.
As regras de linearidade
Para funções integráveis f e g e constantes a e b:
Esse único enunciado contém três regras:
- Regra da soma: \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Regra da diferença: \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Regra da constante multiplicativa: \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx
As mesmas regras valem para integrais definidas no mesmo intervalo:
Por que a linearidade funciona
A derivação é linear: \frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'. Se F' = f e G' = g, então aF + bG é uma antiderivada (primitiva) de af + bg, que é exatamente a regra. Para integrais definidas a razão é ainda mais visual: uma soma de Riemann de f + g é a soma das somas de Riemann de f e de g, e esticar um gráfico por k estica cada retângulo, e portanto a área, por k.
![Área sob y = 2x² comparada com a área sob y = x² em [0, 2]](https://practicecalculus.com/pt/regras/linearidade-da-integral/graphs/0.svg)
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um polinômio. Separe, tire as constantes e aplique a regra da potência inversa a cada parte:
Exemplo 2: tipos de função misturados. A linearidade permite combinar regras de famílias diferentes:
Exemplo 3: separe um quociente primeiro. Não existe regra do quociente para integrais, mas você pode dividir cada termo pelo denominador:
Exemplo 4: uma integral definida. Usando os valores conhecidos \int_0^1 f(x)\,dx = 4 e \int_0^1 g(x)\,dx = -1:
O que a linearidade não faz
A linearidade cobre apenas somas e múltiplos constantes. Todas estas igualdades são falsas em geral:
| Tentador, mas errado | Por quê |
|---|---|
| \int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx | Não existe regra do produto para integrais |
| \int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx} | Não existe regra do quociente para integrais |
| \int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx | x não é uma constante |
| \int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx} | Inversos não passam pela integral |
Quando o integrando é um produto, tente expandi-lo e depois recorra à integração por substituição ou à integração por partes.
Erros comuns
- Tirar a variável para fora. Só constantes saem. Em \int 3x\sin x\,dx você pode tirar o 3, não o x.
- Integrar um produto fator por fator. \int x(x^2+1)\,dx precisa ser expandida para \int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C.
- Separar um denominador. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. Você pode separar uma fração pelos termos do numerador, nunca do denominador.
- Perder um sinal em uma diferença. Distribua o sinal de menos para todos os termos da segunda integral.
As versões para derivadas são a regra da constante multiplicativa e a regra da soma e da diferença. Para praticar mais a combinação dessas regras, veja o guia de antiderivadas.
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