Teorema do Confronto (sanduíche): enunciado e exemplos

O Teorema do Confronto (também chamado de teorema do sanduíche) encontra um limite que você não consegue calcular diretamente, prendendo a função entre duas funções cujos limites você sabe calcular. Se a cota inferior e a cota superior tendem ao mesmo número, a função presa entre elas também precisa tender a ele.

Enunciado do Teorema do Confronto

Sejam f, g e h funções definidas em um intervalo aberto que contém a, exceto possivelmente no próprio a. Suponha que

1. g(x) \le f(x) \le h(x) para todo x desse intervalo com x \ne a, e
2. \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.

Então

O mesmo enunciado vale para limites laterais e para limites quando x \to \infty ou x \to -\infty, desde que a desigualdade valha no intervalo lateral correspondente ou para todo |x| suficientemente grande.

O que o Teorema do Confronto diz em linguagem simples

Imagine duas curvas que se encontram em um único ponto acima de x = a. Qualquer curva desenhada entre elas não tem espaço para ir a outro lugar perto de a, então é espremida pelo mesmo ponto. O teorema transforma essa imagem em uma regra: você nunca precisa calcular \lim f(x) diretamente, só os limites das duas cotas.

Por que cada hipótese importa

As cotas precisam ter o mesmo limite. Todo x \ne 0 satisfaz -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1, mas as cotas tendem a -1 e 1, que são diferentes. O teorema não dá conclusão nenhuma e, de fato, \lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x} não existe: a função assume todos os valores de [-1, 1] infinitas vezes perto de 0.

A desigualdade precisa valer perto de a. Uma cota que só vale longe de a não diz nada sobre o limite em a. Por outro lado, ela pode falhar no próprio a, ou longe dele, sem problema. Só importa um pequeno intervalo em torno de a.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x}.

Passo 1. Limite o fator oscilante: -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1 para todo x \ne 0.

Passo 2. Multiplique por x^2, que é positivo para x \ne 0, então as desigualdades mantêm o sentido:

Passo 3. Tanto -x^2 quanto x^2 tendem a 0 quando x \to 0. Pelo Teorema do Confronto, \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0.

A substituição direta falha aqui porque \sin\frac{1}{0} não está definido, e a regra do produto para limites falha porque \lim \sin\frac{1}{x} não existe. O Teorema do Confronto é a ferramenta certa.

Exemplo 2: \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}.

Para x > 0, -1 \le \cos x \le 1 dá

As duas cotas tendem a 0 quando x \to \infty, então \frac{\cos x}{x} \to 0. Veja limites no infinito para mais limites desse tipo.

Exemplo 3: o famoso limite \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.

Um argumento geométrico com o círculo trigonométrico mostra que, para 0 < |x| < \frac{\pi}{2},

Quando x \to 0, \cos x \to 1 e a constante 1 continua valendo 1. O Teorema do Confronto dá \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Esse limite, conhecido como limite fundamental trigonométrico, é a razão de \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, como mostrado em derivadas das funções trigonométricas.

Como usar o Teorema do Confronto

1. Encontre a parte que se comporta mal, geralmente um seno ou cosseno de algo que explode.
2. Limite essa parte com constantes, normalmente -1 e 1.
3. Multiplique ou some para reconstruir f(x) no meio. Se multiplicar por uma quantidade negativa, inverta as desigualdades.
4. Calcule o limite de cada cota. Se coincidirem, está pronto.

Um atalho útil: se |f(x)| \le h(x) e h(x) \to 0, então f(x) \to 0. Isso é o Teorema do Confronto com g = -h.

Erros comuns

1. Usar cotas com limites diferentes. As cotas -1 e 1 para \sin\frac{1}{x} sozinhas não provam nada. Você precisa multiplicar por algo que tende a zero.
2. Esquecer o sinal ao multiplicar. Para x\sin\frac{1}{x} com x < 0 as desigualdades se invertem. Usar |x\sin\frac{1}{x}| \le |x| evita o problema.
3. Separar o limite em um produto. Escrever \lim x^2 \cdot \lim \sin\frac{1}{x} é inválido porque o segundo limite não existe.

Teoremas e guias relacionados

O Teorema do Confronto é uma das ferramentas básicas para calcular limites. Ele costuma ser ensinado junto com o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Valor Extremo, que descrevem o que as funções contínuas precisam fazer. Para uma introdução tranquila aos próprios limites, comece por o que é um limite.