Sandwich-Satz (Einschnürungssatz): Aussage, Beweisidee, Beispiele

Mit dem Sandwich-Satz bestimmst du einen Grenzwert, den du nicht direkt berechnen kannst, indem du die Funktion zwischen zwei Funktionen einschließt, deren Grenzwerte du berechnen kannst. Streben untere und obere Schranke gegen dieselbe Zahl, muss auch die dazwischen eingeklemmte Funktion gegen diese Zahl streben.

Aussage des Sandwich-Satzes

Seien f, g und h Funktionen, die auf einem offenen Intervall um a definiert sind, eventuell mit Ausnahme von a selbst. Es gelte

1. g(x) \le f(x) \le h(x) für jedes x in diesem Intervall mit x \ne a, und
2. \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.

Dann gilt

Dieselbe Aussage gilt für einseitige Grenzwerte und für Grenzwerte mit x \to \infty oder x \to -\infty, solange die Ungleichung auf dem entsprechenden einseitigen Intervall bzw. für alle hinreichend großen |x| gilt.

Was der Sandwich-Satz anschaulich bedeutet

Stell dir zwei Kurven vor, die sich in einem einzigen Punkt über x = a treffen. Jede Kurve, die dazwischen verläuft, hat nahe a keinen Platz, um woanders hinzugehen, und wird deshalb durch denselben Punkt gezwängt. Der Satz macht aus diesem Bild eine Regel: Du musst \lim f(x) nie direkt berechnen, sondern nur die Grenzwerte der beiden Schranken.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist

Die Schranken müssen denselben Grenzwert haben. Jedes x \ne 0 erfüllt -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1, aber die Schranken streben gegen -1 und 1, und das sind verschiedene Werte. Der Satz liefert keine Aussage, und tatsächlich existiert \lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x} nicht: Die Funktion nimmt nahe 0 jeden Wert in [-1, 1] unendlich oft an.

Die Ungleichung muss nahe a gelten. Eine Schranke, die nur weit weg von a gilt, sagt nichts über den Grenzwert bei a. Andererseits darf sie an der Stelle a selbst oder weit entfernt verletzt sein, ohne dass das schadet. Nur ein kleines Intervall um a zählt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x}.

Schritt 1. Schätze den oszillierenden Faktor ab: -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1 für alle x \ne 0.

Schritt 2. Multipliziere mit x^2. Das ist für x \ne 0 positiv, also bleiben die Ungleichheitszeichen erhalten:

Schritt 3. Sowohl -x^2 als auch x^2 streben gegen 0 für x \to 0. Nach dem Sandwich-Satz gilt \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0.

Direktes Einsetzen scheitert hier, weil \sin\frac{1}{0} nicht definiert ist, und die Produktregel für Grenzwerte scheitert, weil \lim \sin\frac{1}{x} nicht existiert. Der Sandwich-Satz ist das richtige Werkzeug.

Beispiel 2: \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}.

Für x > 0 liefert -1 \le \cos x \le 1

Beide Schranken streben gegen 0 für x \to \infty, also gilt \frac{\cos x}{x} \to 0. Weitere Grenzwerte dieser Art findest du unter Grenzwerte im Unendlichen.

Beispiel 3: der berühmte Grenzwert \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.

Ein geometrisches Argument am Einheitskreis zeigt, dass für 0 < |x| < \frac{\pi}{2} gilt:

Für x \to 0 gilt \cos x \to 1, und die Konstante 1 bleibt 1. Der Sandwich-Satz liefert \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Genau dieser Grenzwert ist der Grund für \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, wie unter Ableitungen der trigonometrischen Funktionen gezeigt wird.

So wendest du den Sandwich-Satz an

1. Finde den Teil, der Probleme macht, meist ein Sinus oder Kosinus von etwas, das gegen unendlich geht.
2. Schätze ihn durch Konstanten ab, typischerweise -1 und 1.
3. Multipliziere oder addiere, um f(x) in der Mitte wieder aufzubauen. Multiplizierst du mit einer negativen Größe, kehren sich die Ungleichheitszeichen um.
4. Bilde den Grenzwert jeder Schranke. Stimmen sie überein, bist du fertig.

Eine nützliche Abkürzung: Gilt |f(x)| \le h(x) und h(x) \to 0, dann gilt f(x) \to 0. Das ist der Sandwich-Satz mit g = -h.

Häufige Fehler

1. Schranken mit verschiedenen Grenzwerten verwenden. Die Schranken -1 und 1 für \sin\frac{1}{x} allein beweisen nichts. Du musst mit etwas multiplizieren, das gegen null geht.
2. Das Vorzeichen beim Multiplizieren vergessen. Bei x\sin\frac{1}{x} mit x < 0 kehren sich die Ungleichungen um. Mit |x\sin\frac{1}{x}| \le |x| umgehst du das Problem.
3. Den Grenzwert in ein Produkt aufspalten. \lim x^2 \cdot \lim \sin\frac{1}{x} zu schreiben ist unzulässig, weil der zweite Grenzwert nicht existiert.

Verwandte Sätze und Leitfäden

Der Sandwich-Satz ist eines der Grundwerkzeuge zum Berechnen von Grenzwerten. Er wird oft zusammen mit dem Zwischenwertsatz und dem Satz vom Maximum und Minimum behandelt, die beschreiben, was stetige Funktionen tun müssen. Für einen sanften Einstieg in Grenzwerte selbst beginne mit Was ist ein Grenzwert?.