Teorema do Valor Médio para Integrais: enunciado e exemplos

O Teorema do Valor Médio para integrais diz que uma função contínua atinge o seu próprio valor médio pelo menos uma vez. Se você achatar a área sob a curva em um retângulo de mesma largura, a altura desse retângulo é um valor que a função realmente assume.

Enunciado do Teorema do Valor Médio para integrais

Se f é contínua no intervalo fechado [a, b], então existe um número c em [a, b] tal que

ou, de forma equivalente,

A quantidade do lado direito da primeira equação é o valor médio de f em [a, b], indicado por f_{\text{avg}}.

O que o teorema significa

A área sob y = f(x) de a até b é igual à área de um retângulo com a mesma base, b - a, e altura f_{\text{avg}}. O teorema diz que essa altura não é um número qualquer: a curva passa por ela. Imagine a água de um tanque com a superfície ondulada. Quando a água se acalma e fica plana, seu nível é a altura média, e a superfície ondulada original estava nesse nível em algum ponto.

Por que a continuidade importa

Seja f(x) = 0 para 0 \le x < 1 e f(x) = 1 para 1 \le x \le 2. Sua integral em [0, 2] é 1, então seu valor médio é \frac{1}{2}. Mas f só assume os valores 0 e 1, nunca \frac{1}{2}. O salto em x = 1 permite que a função pule por cima da sua média. Com continuidade, o Teorema do Valor Intermediário impede isso.

Por que o teorema é verdadeiro

Pelo Teorema do Valor Extremo, f tem um mínimo m e um máximo M em [a, b]. Como m \le f(x) \le M,

Assim, f_{\text{avg}} está entre dois valores que f atinge, e o Teorema do Valor Intermediário fornece um c com f(c) = f_{\text{avg}}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: f(x) = x^2 em [0, 3].

Passo 1. Valor médio: \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

Passo 2. Resolva c^2 = 3, então c = \pm\sqrt{3}.

Passo 3. Só c = \sqrt{3} \approx 1.732 está em [0, 3].

Exemplo 2: f(x) = \sin x em [0, \pi].

Passo 1. f_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.

Passo 2. Resolva \sin c = \frac{2}{\pi}. Em [0, \pi] há duas soluções:

O teorema promete pelo menos uma; aqui há duas.

Exemplo 3: uma função afim. Para f(x) = 2x + 1 em [0, 4], \int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20, então f_{\text{avg}} = \frac{20}{4} = 5. Resolvendo 2c + 1 = 5 obtemos c = 2, o ponto médio. Para qualquer função afim, o valor médio é atingido no ponto médio do intervalo.

Erros comuns

1. Esquecer de dividir por b - a. A integral é a área; o valor médio é a área dividida pela largura.
2. Manter soluções fora do intervalo. No Exemplo 1, c = -\sqrt{3} precisa ser descartado.
3. Confundir com o TVM para derivadas. Aquele teorema iguala f'(c) à inclinação média de f. Este iguala f(c) ao valor médio de f.

Teoremas relacionados

Este teorema é o Teorema do Valor Médio aplicado a F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, usando a parte 1 do TFC para F' = f e a parte 2 do TFC para calcular a integral. Para saber mais sobre integrais como área acumulada, veja somas de Riemann e o guia do Teorema Fundamental do Cálculo.