Mittelwertsatz der Integralrechnung: Aussage und Beispiele

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass eine stetige Funktion ihren eigenen Mittelwert mindestens einmal annimmt. Wenn du die Fläche unter der Kurve zu einem Rechteck derselben Breite plattdrückst, ist die Höhe dieses Rechtecks ein Wert, den die Funktion tatsächlich annimmt.

Aussage des Mittelwertsatzes der Integralrechnung

Ist f stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b], dann gibt es eine Zahl c in [a, b] mit

oder gleichwertig

Die Größe auf der rechten Seite der ersten Gleichung ist der Mittelwert von f auf [a, b], geschrieben f_{\text{avg}}.

Was der Satz bedeutet

Die Fläche unter y = f(x) von a bis b ist gleich der Fläche eines Rechtecks mit derselben Grundseite b - a und der Höhe f_{\text{avg}}. Der Satz sagt, dass diese Höhe nicht irgendeine Zahl ist: Die Kurve erreicht sie. Stell dir Wasser in einem Becken mit welliger Oberfläche vor. Kommt das Wasser zur Ruhe und wird glatt, steht es auf der mittleren Höhe, und die ursprüngliche wellige Oberfläche war irgendwo genau auf dieser Höhe.

Warum Stetigkeit wichtig ist

Sei f(x) = 0 für 0 \le x < 1 und f(x) = 1 für 1 \le x \le 2. Das Integral über [0, 2] ist 1, also ist der Mittelwert \frac{1}{2}. Aber f nimmt nur die Werte 0 und 1 an, nie \frac{1}{2}. Durch den Sprung bei x = 1 kann die Funktion ihren Mittelwert überspringen. Bei Stetigkeit schließt der Zwischenwertsatz das aus.

Warum der Satz gilt

Nach dem Satz vom Maximum und Minimum hat f auf [a, b] ein Minimum m und ein Maximum M. Wegen m \le f(x) \le M gilt

Also liegt f_{\text{avg}} zwischen zwei Werten, die f annimmt, und der Zwischenwertsatz liefert ein c mit f(c) = f_{\text{avg}}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: f(x) = x^2 auf [0, 3].

Schritt 1. Mittelwert: \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

Schritt 2. Löse c^2 = 3, also c = \pm\sqrt{3}.

Schritt 3. Nur c = \sqrt{3} \approx 1.732 liegt in [0, 3].

Beispiel 2: f(x) = \sin x auf [0, \pi].

Schritt 1. f_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.

Schritt 2. Löse \sin c = \frac{2}{\pi}. Auf [0, \pi] gibt es zwei Lösungen:

Der Satz verspricht mindestens eine, hier sind es zwei.

Beispiel 3: eine lineare Funktion. Für f(x) = 2x + 1 auf [0, 4] ist \int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20, also f_{\text{avg}} = \frac{20}{4} = 5. Aus 2c + 1 = 5 folgt c = 2, die Intervallmitte. Bei jeder linearen Funktion wird der Mittelwert in der Intervallmitte angenommen.

Häufige Fehler

1. Vergessen, durch b - a zu teilen. Das Integral ist die Fläche, der Mittelwert ist die Fläche geteilt durch die Breite.
2. Lösungen außerhalb des Intervalls behalten. In Beispiel 1 muss c = -\sqrt{3} verworfen werden.
3. Verwechslung mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Jener setzt f'(c) gleich der mittleren Steigung von f. Dieser setzt f(c) gleich dem Mittelwert von f.

Verwandte Sätze

Dieser Satz ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung, angewendet auf F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, wobei man Teil 1 des Hauptsatzes für F' = f und Teil 2 des Hauptsatzes zum Auswerten des Integrals verwendet. Mehr zu Integralen als aufsummierter Fläche findest du bei Riemann-Summen und im Leitfaden zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.