Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: derivada de uma integral

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1 (TFC 1) diz que, se você constrói uma função acumulando a área sob uma curva contínua, a derivada dessa função é a própria curva. É a primeira metade da ligação entre derivadas e integrais.

Enunciado do TFC parte 1

Seja f contínua em [a, b] e defina a função acumulação

Então F é contínua em [a, b], derivável em (a, b), e

Na notação de Leibniz, \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x). A variável t é uma variável muda de integração, e x é o limite superior.

O que o TFC 1 significa

F(x) é a área com sinal sob y = f(t) de a até x. Empurre x um pouquinho para a direita, por h, e a área nova é uma faixa fina de largura h e altura aproximadamente f(x). Então

e a aproximação se torna exata quando h \to 0. A taxa com que a área se acumula é igual à altura da curva.

Por que a continuidade importa

Seja f(t) = 0 para t < 0 e f(t) = 1 para t \ge 0, e seja F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt. A área acumulada é

que tem um bico em x = 0. Então F'(0) não existe e, com certeza, não é igual a f(0) = 1. A integral continua fazendo sentido, mas no salto a conclusão F' = f falha. Longe do salto, onde f é contínua, F' = f continua valendo.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: a forma básica.

Não é preciso integrar, e nem seria possível em termos elementares. Troque t por x e pronto.

Exemplo 2: limite superior como função de x (regra da cadeia). Encontre \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Passo 1. Seja u = x^2. Então a integral é G(u) = \int_0^u \cos t\,dt e, pelo TFC 1, G'(u) = \cos u.

Passo 2. Pela regra da cadeia, \frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.

Verificação: a integral é igual a \sin(x^2), cuja derivada é 2x\cos(x^2).

Exemplo 3: os dois limites dependem de x. Encontre \frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt.

Passo 1. Divida em uma constante: \int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}.

Passo 2. Derive cada parte com o TFC 1 e a regra da cadeia:

Exemplo 4: limite inferior com x. Inverta os limites primeiro: \frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2).

Erros comuns

1. Esquecer o fator da regra da cadeia. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt é 2x\cos(x^2), e não \cos(x^2).
2. Substituir também o limite inferior. Para \int_a^x f(t)\,dt com a constante, a resposta é só f(x). O limite inferior constante apenas desloca F por uma constante.
3. Esquecer o sinal quando x está no limite inferior. Trocar os limites introduz um sinal de menos.
4. Tentar integrar primeiro quando isso é impossível. Integrandos como e^{t^2} não têm primitiva elementar, mas o TFC 1 deriva a integral na hora.

Por que o TFC 1 importa

O TFC 1 prova que toda função contínua tem uma primitiva, a saber \int_a^x f(t)\,dt. É esse fato que faz o TFC parte 2 funcionar, transformando integrais definidas em uma simples subtração. Ele também define funções importantes, como \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt. Para a história completa das duas partes, leia o guia do Teorema Fundamental do Cálculo, e veja somas de Riemann para a definição de integral em que ele se apoia.