Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1: derivada de una integral

El Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1 (TFC 1) dice que si construyes una función acumulando el área bajo una curva continua, la derivada de esa función es la propia curva. Es la primera mitad del vínculo entre derivadas e integrales.

Enunciado del TFC, parte 1

Sea f continua en [a, b], y define la función de acumulación

Entonces F es continua en [a, b], derivable en (a, b), y

En notación de Leibniz, \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x). La variable t es una variable muda de integración, y x es el límite superior.

Qué significa el TFC 1

F(x) es el área con signo bajo y = f(t) desde a hasta x. Si desplazas x un poquito hacia la derecha, una cantidad h, el área nueva es una franja delgada de anchura h y altura aproximada f(x). Así que

y la aproximación se vuelve exacta cuando h \to 0. La rapidez con la que se acumula el área es igual a la altura de la curva.

Por qué importa la continuidad

Sea f(t) = 0 para t < 0 y f(t) = 1 para t \ge 0, y sea F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt. El área acumulada es

que tiene un pico en x = 0. Así que F'(0) no existe y, desde luego, no es igual a f(0) = 1. La integral sigue teniendo sentido, pero en el salto la conclusión F' = f falla. Lejos del salto, donde f es continua, F' = f se sigue cumpliendo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: la forma básica.

No hace falta integrar, y tampoco sería posible con funciones elementales. Sustituye t por x y listo.

Ejemplo 2: el límite superior es una función de x (regla de la cadena). Halla \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Paso 1. Sea u = x^2. Entonces la integral es G(u) = \int_0^u \cos t\,dt y, por el TFC 1, G'(u) = \cos u.

Paso 2. Por la regla de la cadena, \frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.

Comprobación: la integral es igual a \sin(x^2), cuya derivada es 2x\cos(x^2).

Ejemplo 3: los dos límites dependen de x. Halla \frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt.

Paso 1. Divide en una constante: \int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}.

Paso 2. Deriva cada parte con el TFC 1 y la regla de la cadena:

Ejemplo 4: un límite inferior con x. Primero intercambia los límites: \frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2).

Errores comunes

1. Olvidar el factor de la regla de la cadena. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt es 2x\cos(x^2), no \cos(x^2).
2. Sustituir también el límite inferior. Para \int_a^x f(t)\,dt con a constante, la respuesta es simplemente f(x). El límite inferior constante solo desplaza F en una constante.
3. Olvidar el signo cuando x está en el límite inferior. Intercambiar los límites introduce un signo menos.
4. Intentar integrar primero cuando es imposible. Integrandos como e^{t^2} no tienen antiderivada elemental, pero el TFC 1 deriva la integral al instante.

Por qué importa el TFC 1

El TFC 1 demuestra que toda función continua tiene una antiderivada, a saber, \int_a^x f(t)\,dt. Ese hecho es lo que hace funcionar la parte 2 del TFC, que convierte las integrales definidas en una simple resta. También define funciones importantes como \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt. Para ver la historia completa de las dos partes, lee la guía del Teorema Fundamental del Cálculo, y consulta las sumas de Riemann para la definición de integral en la que se apoya.