Théorème fondamental de l'analyse (partie 1) : dériver une intégrale

La première partie du théorème fondamental de l'analyse affirme que si l'on construit une fonction en accumulant l'aire sous une courbe continue, la dérivée de cette fonction est la courbe elle-même. C'est la première moitié du lien entre dérivées et intégrales.

Énoncé de la partie 1 du théorème fondamental

Soit f une fonction continue sur [a, b]. On définit la fonction d'accumulation

Alors F est continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et

En notation de Leibniz, \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x). La variable t est une variable d'intégration muette, et x est la borne supérieure.

Ce que signifie la partie 1

F(x) est l'aire algébrique sous y = f(t) entre a et x. Décalez x un peu vers la droite, de h : l'aire ajoutée est une fine bande de largeur h et de hauteur environ f(x). Donc

et l'approximation devient exacte quand h \to 0. La vitesse à laquelle l'aire s'accumule est égale à la hauteur de la courbe.

Pourquoi la continuité compte

Posons f(t) = 0 pour t < 0 et f(t) = 1 pour t \ge 0, et soit F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt. L'aire accumulée vaut

ce qui présente un point anguleux en x = 0. Donc F'(0) n'existe pas, et ne peut certainement pas valoir f(0) = 1. L'intégrale a toujours un sens, mais au niveau du saut, la conclusion F' = f tombe en défaut. Loin du saut, là où f est continue, on a toujours F' = f.

Exemples corrigés

Exemple 1 : la forme de base.

Aucune intégration n'est nécessaire, et aucune n'est d'ailleurs possible avec des fonctions usuelles. On remplace t par x, et c'est terminé.

Exemple 2 : la borne supérieure est une fonction de x (règle de dérivation en chaîne). Calculer \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Étape 1. Posons u = x^2. L'intégrale s'écrit alors G(u) = \int_0^u \cos t\,dt, et d'après la partie 1 du théorème, G'(u) = \cos u.

Étape 2. D'après la règle de dérivation en chaîne, \frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.

Vérification : l'intégrale vaut \sin(x^2), dont la dérivée est 2x\cos(x^2).

Exemple 3 : les deux bornes dépendent de x. Calculer \frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt.

Étape 1. On coupe en une constante : \int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}.

Étape 2. On dérive chaque morceau à l'aide de la partie 1 et de la règle de dérivation en chaîne :

Exemple 4 : une borne inférieure contenant x. On commence par échanger les bornes : \frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2).

Erreurs fréquentes

1. Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt vaut 2x\cos(x^2), et non \cos(x^2).
2. Remplacer aussi par la borne inférieure. Pour \int_a^x f(t)\,dt avec a constant, la réponse est simplement f(x). La borne inférieure constante ne fait que décaler F d'une constante.
3. Oublier le signe quand x est dans la borne inférieure. Échanger les bornes fait apparaître un signe moins.
4. Vouloir intégrer d'abord alors que c'est impossible. Des intégrandes comme e^{t^2} n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles, mais la partie 1 du théorème permet quand même de dériver l'intégrale immédiatement.

Pourquoi la partie 1 est importante

La partie 1 démontre que toute fonction continue admet une primitive, à savoir \int_a^x f(t)\,dt. C'est ce résultat qui fait fonctionner la partie 2 du théorème fondamental, qui transforme le calcul des intégrales définies en une simple soustraction. Elle permet aussi de définir des fonctions importantes comme \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt. Pour l'histoire complète des deux parties, lisez le guide du théorème fondamental de l'analyse, et consultez les sommes de Riemann pour la définition de l'intégrale sur laquelle il repose.