MAT-22 ITA Cálculo II: ementa, guia de estudo e exercícios

A MAT-22 Cálculo Diferencial e Integral II é a segunda disciplina de cálculo do ITA, oferecida no 2º período do 1º Ano Fundamental. O requisito é a MAT-12 e a carga semanal, pela convenção do catálogo, é 4-0-0-5: quatro horas de teoria e cinco de estudo em casa. Como as séries já ficaram na MAT-12, a MAT-22 entra direto no cálculo de várias variáveis. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

O que a MAT-22 cobre

A ementa oficial começa com noções de topologia no \mathbb{R}^n e curvas parametrizadas. Depois estuda funções de várias variáveis, curvas e superfícies de nível, limite e continuidade.

O núcleo da disciplina é o cálculo diferencial: derivadas direcionais e parciais, diferenciabilidade e diferencial, regra da cadeia, o vetor gradiente e sua interpretação, derivadas parciais de ordem superior, Fórmula de Taylor e pesquisa de máximos, mínimos e pontos de sela, e extremos condicionados com multiplicadores de Lagrange. A ementa também trata de transformações entre espaços reais, com a diferencial e a matriz Jacobiana, conjuntos de nível e os teoremas da função implícita e da função inversa.

A parte final é de integrais múltiplas: integral dupla e tripla, integral iterada e Teorema de Fubini, mudança de variáveis na integral, coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, e aplicações.

Em termos internacionais, a MAT-22 corresponde às partes de derivadas parciais e integrais múltiplas de um Calculus 3, com um pouco mais de teoria (função implícita e inversa) do que é comum.

Mapa de temas da MAT-22

A sequência de cálculo do ITA

Exemplos de exercícios no nível da MAT-22

1. Gradiente. Para f(x,y) = x^2y + y^3: \nabla f = (2xy,\ x^2 + 3y^2). Em (1,1) o gradiente é (2, 4), e a derivada direcional máxima vale |\nabla f| = 2\sqrt{5}.

2. Lagrange. Maximizar f = xy com x + y = 10: \nabla f = \lambda \nabla g dá y = \lambda e x = \lambda, logo x = y = 5 e o máximo é 25.

3. Coordenadas polares.

Como ir bem na MAT-22

• Visualize antes de calcular. Esboçar curvas de nível e regiões de integração evita a maioria dos erros de limites.
• Não esqueça o Jacobiano. O fator r nas polares e \rho^2\sin\varphi nas esféricas são os esquecimentos mais comuns.
• Pratique derivadas parciais na prática até não precisar pensar nelas.
• Revise os erros comuns de cálculo antes das provas.

Dica: nos teoremas da função implícita e da função inversa, a pergunta prática é sempre a mesma: o determinante da Jacobiana (ou a derivada parcial certa) é diferente de zero no ponto? Se for, a função se comporta bem localmente.