MAT-12 ITA Cálculo I: ementa, guia de estudo e exercícios

A MAT-12 Cálculo Diferencial e Integral I é a primeira disciplina de cálculo do Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Fica no 1º período do 1º Ano Fundamental, comum a todas as engenharias, e não tem pré-requisito. O catálogo de graduação do ITA indica carga semanal 5-0-0-5, ou seja, cinco horas de aula teórica e uma expectativa de cinco horas de estudo em casa por semana. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

O que a MAT-12 cobre

A ementa oficial começa pelos números reais e pelas funções reais de uma variável real, passa por limites e por funções contínuas, com os teoremas do valor intermediário e de Bolzano-Weierstrass. Em seguida vêm as derivadas: definição e propriedades, funções diferenciáveis, regra da cadeia, derivada da função inversa, Teorema do Valor Médio, Fórmula de Taylor, pesquisa de máximos, mínimos e pontos de inflexão, e as regras de L'Hospital.

A segunda metade trata da integral de Riemann (definição, propriedades, interpretação geométrica), do Teorema Fundamental do Cálculo, de técnicas de integração, aplicações e integrais impróprias. A ementa termina com um bloco que, em muitas universidades, só aparece no segundo semestre: sequências numéricas (monótonas, completude dos reais), séries numéricas com os critérios do termo geral, da razão, da raiz, da integral e de Leibniz, convergência absoluta e condicional, e séries de potências, com intervalo de convergência, Teorema de Abel, derivação e integração termo a termo e séries de Taylor das funções elementares.

Comparada a um Cálculo 1 padrão, a MAT-12 vai bem além: cobre o Cálculo 1 inteiro, técnicas de integração, integrais impróprias e a parte de séries de um Cálculo 2.

Mapa de temas da MAT-12

A sequência de cálculo do ITA

Exemplos de exercícios no nível da MAT-12

1. Limite com L'Hospital. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2} é da forma \frac{0}{0}. Derivando duas vezes: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}.

2. Integral imprópria. \displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1, logo converge.

3. Série de potências. Para \sum_{n\ge 1} \frac{x^n}{n}, o teste da razão dá |x| < 1. Em x = 1 temos a série harmônica, que diverge; em x = -1 a série alternada converge pelo critério de Leibniz. O intervalo é [-1, 1).

Como ir bem na MAT-12

• Não deixe a parte de séries para o fim. Ela chega quando o semestre já está apertado e costuma pesar nas provas finais.
• Leve as demonstrações a sério. Teorema do Valor Médio, completude dos reais e Bolzano-Weierstrass aparecem como teoria, não só como ferramenta.
• Automatize derivadas e primitivas na prática para gastar o tempo de estudo com os problemas mais difíceis.
• Use o formulário para revisar as séries de Taylor de e^x, \sin x, \cos x e \ln(1+x).

Dica: nas séries, siga sempre a mesma ordem: primeiro o critério do termo geral, depois compare com séries geométricas ou p-séries, e só então razão, raiz ou integral. O guia de testes de convergência resume quando usar cada um.