MAT-36 ITA Cálculo Vetorial: ementa, guia de estudo e exercícios

A MAT-36 Cálculo Vetorial fecha a sequência de cálculo do Curso Fundamental do ITA. É cursada no 1º período do 2º ano, junto com Equações Diferenciais Ordinárias (MAT-32), e tem a MAT-22 como requisito. A carga semanal no catálogo é 3-0-0-3: três horas de teoria e três de estudo em casa. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

O que a MAT-36 cobre

A ementa oficial começa com curvas no plano e no espaço: parametrização, curvas regulares, reparametrização, reta tangente e reta normal, orientação de uma curva regular e comprimento de arco. Depois vêm as integrais de linha, com suas propriedades, o teorema de Green e os campos conservativos.

A segunda parte trata de superfícies no \mathbb{R}^3: parametrização, superfícies regulares, plano tangente e reta normal, reparametrização e área de superfície, seguidas das integrais de superfície. O ponto alto é a dupla divergente e rotacional de um campo, com o teorema de Gauss (da divergência) e o teorema de Stokes.

A ementa termina com coordenadas curvilíneas ortogonais: elemento de volume e as expressões do gradiente, divergente, rotacional e laplaciano nesses sistemas de coordenadas, um tema que muitos cursos deixam de fora e que é muito usado em física.

Em termos internacionais, a MAT-36 corresponde à parte de cálculo vetorial de um Calculus 3.

Mapa de temas da MAT-36

A sequência de cálculo do ITA

Exemplos de exercícios no nível da MAT-36

1. Campo conservativo. \mathbf{F} = (2xy,\ x^2) tem \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x = \frac{\partial}{\partial y}(2xy), então é conservativo com potencial f = x^2y. A integral de (0,0) a (1,2) vale f(1,2) - f(0,0) = 2, por qualquer caminho.

2. Teorema de Green. Para \oint_C (-y\,dx + x\,dy) no círculo x^2 + y^2 = 1 orientado no sentido anti-horário:

3. Divergência. Para \mathbf{F} = (x, y, z), \nabla\cdot\mathbf{F} = 3. O fluxo para fora da esfera de raio R é 3 \cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3.

Como ir bem na MAT-36

• Cuide da orientação. Sentido da curva e normal da superfície mudam o sinal do resultado; defina-os antes de calcular.
• Pergunte primeiro se o campo é conservativo. Quando é, a integral de linha vira uma diferença de potencial.
• Escolha o teorema certo. Superfície fechada sugere Gauss; curva que borda uma superfície sugere Stokes.
• Pratique na prática e revise os erros comuns de cálculo antes das provas.

Dica: os três grandes teoremas dizem a mesma coisa: a integral de uma "derivada" sobre uma região é igual à integral da função na fronteira. Ver Green, Stokes e Gauss como versões do Teorema Fundamental do Cálculo ajuda a lembrar de cada um.