MATA03 UFBA Cálculo B: ementa, guia de estudo e exercícios

A MATA03 Cálculo B é a segunda disciplina de cálculo da Universidade Federal da Bahia, oferecida pelo Departamento de Matemática do Instituto de Matemática e Estatística. Vem depois da MATA02 (Cálculo A) e reúne num só semestre as aplicações da integral e o cálculo de funções de duas variáveis. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

Segundo o programa oficial do componente curricular, vigente desde 2023.1, a MATA03 é uma disciplina teórica de 90 horas com pré-requisitos MATA01 Geometria Analítica e MATA02 Cálculo A. A ementa oficial resume o conteúdo; o mapa de temas abaixo detalha os tópicos que a página do Departamento de Matemática listava, como coordenadas polares e multiplicadores de Lagrange, que podem variar conforme o professor.

O que a MATA03 cobre

A ementa começa com aplicações da integral à geometria e à mecânica, como áreas, volumes, comprimento de arco, centro de massa e trabalho. Em seguida trata de curvas planas parametrizadas, coordenadas polares e da integral de primeira espécie sobre curvas (integral de linha de uma função escalar).

Depois vem o cálculo de funções de duas variáveis. Primeiro a continuidade e a integração: integrais duplas em coordenadas cartesianas e polares e o Teorema de Fubini. Depois o cálculo diferencial: derivadas parciais, diferenciabilidade, derivadas direcionais, máximos e mínimos, multiplicadores de Lagrange, funções implícitas e curvas de nível.

A parte final trata de campos planares, da integral de segunda espécie (com interpretação como trabalho e fluxo) e do teorema de Green e da identidade de Green em \mathbb{R}^2.

Em termos internacionais, a MATA03 mistura as aplicações da integral e as polares de um Calculus 2 com a versão bidimensional de um Calculus 3.

Mapa de temas da MATA03

A sequência de cálculo da UFBA

Exemplos de exercícios no nível da MATA03

1. Área em polares. A área dentro da cardioide r = 1 + \cos\theta é

2. Extremos. Para f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x: f_x = 2x - 2 = 0 e f_y = 2y = 0 dão o ponto crítico (1, 0). Como f_{xx} = 2 > 0 e f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 4 > 0, é um mínimo, com valor -1.

3. Green. A área de uma região D é \frac{1}{2}\oint_{\partial D}(x\,dy - y\,dx). Para o círculo de raio a, com x = a\cos t e y = a\sin t, o resultado é \pi a^2.

Como ir bem na MATA03

• Desenhe a curva ou a região antes de montar qualquer integral. Em polares, isso evita limites errados.
• Não esqueça o fator r nas integrais duplas em polares.
• Pratique derivadas parciais na prática até ficarem automáticas.
• Revise os erros comuns de cálculo antes das provas.

Dica: o teorema de Green troca uma integral sobre a fronteira por uma integral dupla sobre a região. Quando a curva é fechada e a integral de linha parece trabalhosa, tente Green primeiro.