MATA04 UFBA Cálculo C: ementa, guia de estudo e exercícios

A MATA04 Cálculo C é a terceira disciplina de cálculo da Universidade Federal da Bahia, oferecida pelo Departamento de Matemática do Instituto de Matemática e Estatística. Vem depois da MATA03 (Cálculo B) e muda de assunto: em vez de várias variáveis, trata de equações diferenciais, transformada de Laplace e séries. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

Segundo o programa oficial do componente curricular, vigente desde 2023.1, a MATA04 é uma disciplina teórica de 90 horas com pré-requisitos Cálculo B e Álgebra Linear A.

O que a MATA04 cobre

A ementa começa com equações diferenciais ordinárias e sistemas de EDOs lineares. Para resolvê-los, a disciplina introduz as integrais impróprias e, a partir delas, a transformada de Laplace, que transforma EDOs e sistemas lineares em problemas algébricos.

A segunda metade trata de séries numéricas (convergência e critérios) e séries de potências, usadas em seguida para obter soluções de EDOs por séries. A ementa termina com uma introdução à teoria qualitativa das equações diferenciais, que estuda o comportamento das soluções sem resolvê-las explicitamente.

Em termos internacionais, a parte de integrais impróprias e séries corresponde a um Calculus 2; EDOs, sistemas e transformada de Laplace costumam formar uma disciplina de equações diferenciais à parte.

Mapa de temas da MATA04

A transformada de Laplace e os sistemas de EDOs lineares não têm lição própria aqui; as lições acima cobrem as ferramentas de cálculo que eles usam.

A sequência de cálculo da UFBA

Exemplos de exercícios no nível da MATA04

1. EDO separável. y' = 2xy com y(0) = 3: \frac{dy}{y} = 2x\,dx dá \ln|y| = x^2 + C, logo y = 3e^{x^2}.

2. Transformada de Laplace. Pela definição, que é uma integral imprópria,

3. Série de potências. \sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{n!} tem, pelo teste da razão, \left|\frac{x}{n+1}\right| \to 0, então converge para todo x. É a série de e^x.

Como ir bem na MATA04

• Domine frações parciais. A inversão da transformada de Laplace depende delas.
• Organize os critérios de convergência num roteiro e treine a escolha do teste na prática.
• Use o formulário para as séries de Taylor das funções elementares.
• Revise os erros comuns de cálculo antes das provas.

Dica: antes de aplicar qualquer critério a uma série, faça o teste do termo geral: se a_n não tende a zero, a série diverge e acabou. Só depois compare, use a razão ou a integral.