Derivada de arccos x: fórmula, demonstração e exemplos

A derivada de \arccos x é -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Ela é igual à derivada de arcsen x com um sinal de menos na frente, e existe um bom motivo para isso.

Gráfico de arccos x e de sua derivada

Demonstração da derivada de arccos x

Seja y = \arccos x, então \cos y = x com 0 \le y \le \pi. Use derivação implícita:

Em [0, \pi] o seno nunca é negativo, então \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. Isso dá

Uma demonstração mais rápida usando o arcsen

Para todo x em [-1, 1],

Imagine um triângulo retângulo: se um ângulo agudo tem seno x, o outro tem cosseno x, e os dois ângulos somam \frac{\pi}{2}. Derive os dois lados. O lado direito é uma constante, então sua derivada é 0:

Portanto a derivada do arccos é a derivada do arcsen com o sinal trocado. Essa é uma boa forma de memorizá-la.

Versão com a regra da cadeia: derivada de arccos(u)

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra do produto. Para f(x) = x^2\arccos x, a regra do produto dá

Exemplo 2: inclinação em um ponto. Em x = \frac{\sqrt{3}}{2}, a inclinação de \arccos x é

Exemplo 3: reta tangente. Em x = 0 a curva passa por \left(0, \frac{\pi}{2}\right) com inclinação -1, então a reta tangente é y = \frac{\pi}{2} - x.

Erros comuns

1. Esquecer o sinal de menos. É a única diferença em relação ao arcsen, e a coisa mais fácil de perder.
2. Achar que \cos^{-1} x = \sec x. O inverso multiplicativo do cosseno é a secante. \cos^{-1} é a função inversa.
3. Esquecer o u'. \frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}, não -\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}.
4. Usá-la em x = \pm 1. A tangente é vertical ali, então não há derivada.

Raramente você verá -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} integrada como arccos, já que -\arcsin x + C é a mesma família de respostas. Veja a página da função arco cosseno para o gráfico e a imagem, e pratique com os exercícios de derivadas de trigonométricas inversas.