Derivada de arcsen x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de arcsen x é 1/√(1 − x²). Veja a demonstração a partir de sen y = x, a forma com a regra da cadeia para arcsen(u), o gráfico e exemplos.
Derivadas das trigonométricas inversas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} para -1 < x < 1
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
- Domínio de arcsen x
- [-1, 1]
- Imagem de arcsen x
- \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
- Versão para integrais
- \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C
Nesta página
A derivada de \arcsin x é \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Ela vale no intervalo aberto -1 < x < 1, onde o arco seno é suave.
Gráfico de arcsen x e de sua derivada
A derivada nunca é negativa, então \arcsin x está sempre subindo. Sua menor inclinação é 1, na origem, e a curva fica vertical nas extremidades (\pm 1, \pm\frac{\pi}{2}).
Demonstração da derivada de arcsen x
Seja y = \arcsin x. Então \sin y = x com -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}. Derive os dois lados com derivação implícita:
Agora escreva \cos y em função de x. De \sin^2 y + \cos^2 y = 1 obtemos \cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}. Em \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] o cosseno nunca é negativo, então tomamos a raiz positiva:
A mesma ideia funciona para toda função inversa, veja a derivada da função inversa.
Versão com a regra da cadeia: derivada de arcsen(u)
Com a regra da cadeia, coloque a derivada da função de dentro no numerador:
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \arcsin(2x) | 2x | \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} |
| \arcsin(x^2) | x^2 | \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} |
| \arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right), a > 0 | \frac{x}{a} | \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} |
| \arcsin(e^x) | e^x | \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}} |
Vale a pena guardar a terceira linha. É por causa dela que \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um produto. Derive f(x) = x\arcsin x com a regra do produto:
Exemplo 2: inclinação em um ponto. A inclinação de y = \arcsin x em x = \frac{1}{2} é
Exemplo 3: uma potência do arcsen. Para g(x) = (\arcsin x)^2 a função de fora é um quadrado:
Erros comuns
- Ler \sin^{-1} x como \frac{1}{\sin x}. O -1 indica função inversa, não inverso multiplicativo.
- Esquecer a derivada da função de dentro. \frac{d}{dx}\arcsin(3x) é \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}, não \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}.
- Elevar ao quadrado só o x na regra da cadeia. Dentro da raiz você precisa de 1 - u^2, então \arcsin(x^2) dá \sqrt{1 - x^4}, não \sqrt{1 - x^2}.
- Confundir o sinal com o do arccos. A derivada de arccos x é a mesma expressão com um sinal de menos.
No sentido inverso, a integral de 1/√(1 − x²) é \arcsin x + C, e a integral de arcsen x usa integração por partes. Pratique mais com os exercícios de derivadas de trigonométricas inversas ou leia sobre a função arco seno.
Pratique agora
Derivadas das trigonométricas inversas
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição