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Ableitungen der Arkusfunktionen

Ableitung von arccos x: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von arccos x ist −1/√(1 − x²). Mit Beweis, der Erklärung, warum sie das Negative der arcsin-Ableitung ist, Kettenregel-Beispielen und Graph.

Ableitungen der Arkusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
Ableitung
-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} für -1 < x < 1
Mit Kettenregel
\dfrac{d}{dx}\arccos u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Definitionsbereich von arccos x
[-1, 1]
Wertebereich von arccos x
[0, \pi]
Wichtige Identität
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
Auf dieser Seite
  1. Graph von arccos x und seiner Ableitung
  2. Beweis der Ableitung von arccos x
  3. Ein schnellerer Beweis über arcsin
  4. Mit der Kettenregel: Ableitung von arccos(u)
  5. Rechenbeispiele
  6. Typische Fehler

Die Ableitung von \arccos x ist -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Sie sieht genauso aus wie die Ableitung von arcsin x, nur mit einem Minuszeichen davor, und dafür gibt es einen schönen Grund.

\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1

Graph von arccos x und seiner Ableitung

Graph von y = arccos x und seiner Ableitung
Der Arkuskosinus fällt von \pi auf 0. Seine Steigung ist -1 bei x = 0 und wird in der Nähe von x = \pm 1 sehr steil.

Beweis der Ableitung von arccos x

Sei y = \arccos x, also \cos y = x mit 0 \le y \le \pi. Mit implizitem Differenzieren erhältst du:

-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}

Auf [0, \pi] ist der Sinus nie negativ, also gilt \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. Damit folgt

\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Ein schnellerer Beweis über arcsin

Für jedes x in [-1, 1] gilt

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor: Hat einer der spitzen Winkel den Sinus x, dann hat der andere den Kosinus x, und zusammen ergeben die beiden Winkel \frac{\pi}{2}. Leite beide Seiten ab. Die rechte Seite ist eine Konstante, ihre Ableitung ist also 0:

\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{d}{dx}\arccos x = 0

Die Ableitung von arccos ist also die Ableitung von arcsin mit umgekehrtem Vorzeichen. So kannst du sie dir gut merken.

Mit der Kettenregel: Ableitung von arccos(u)

\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Funktion Innere Funktion u Ableitung
\arccos(3x) 3x -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}
\arccos(x^2) x^2 -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}
\arccos(\sqrt{x}) \sqrt{x} -\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}}
\arccos\!\left(\frac{x}{2}\right) \frac{x}{2} -\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Produktregel. Für f(x) = x^2\arccos x liefert die Produktregel

f'(x) = 2x\arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}

Beispiel 2: Steigung an einer Stelle. Bei x = \frac{\sqrt{3}}{2} ist die Steigung von \arccos x

-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{1/2} = -2

Beispiel 3: Tangente. Bei x = 0 verläuft die Kurve durch \left(0, \frac{\pi}{2}\right) mit Steigung -1, die Tangente ist also y = \frac{\pi}{2} - x.

Typische Fehler

  1. Das Minuszeichen weglassen. Es ist der einzige Unterschied zu arcsin und geht am leichtesten verloren.
  2. \cos^{-1} x = \sec x annehmen. Der Kehrwert des Kosinus ist der Sekans. \cos^{-1} bezeichnet die Umkehrfunktion.
  3. u' vergessen. \frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}, nicht -\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}.
  4. Die Formel bei x = \pm 1 verwenden. Dort ist die Tangente senkrecht, es gibt also keine Ableitung.

Beim Integrieren von -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} wirst du selten arccos sehen, denn -\arcsin x + C beschreibt dieselbe Familie von Stammfunktionen. Graph und Wertebereich findest du auf der Seite zum Arkuskosinus, üben kannst du mit Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von arccos x?
Die Ableitung von \arccos x (auch \cos^{-1} x geschrieben) ist -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} für -1 < x < 1.

Warum ist die Ableitung von arccos x negativ?
Weil \arccos x von \pi auf 0 fällt, während x von -1 bis 1 läuft. Eine fallende Funktion hat eine negative Ableitung.

Was ist die Ableitung von arccos(2x)?
Mit der Kettenregel ist sie -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}, gültig für -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.

Was ist die Ableitung von arcsin x + arccos x?
Sie ist 0. Die beiden Ableitungen heben sich auf, passend zur Identität \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, einer Konstanten.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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