Derivada de ln(x²) e de (ln x)²: fórmulas e exemplos
A derivada de ln(x²) é 2/x, enquanto a derivada de (ln x)² é 2 ln x / x. Veja as duas demonstrações, o gráfico e como distinguir as duas funções.
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada de ln(x²)
- \dfrac{2}{x} para x \ne 0
- Derivada de (ln x)²
- \dfrac{2\ln x}{x} para x > 0
- Propriedade-chave do logaritmo
- \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert
- Domínio de ln(x²)
- x \ne 0
- Domínio de (ln x)²
- x > 0
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A derivada de \ln(x^2) é \dfrac{2}{x}. Não a confunda com (\ln x)^2, cuja derivada é \dfrac{2\ln x}{x}.
Derivada de ln(x²): dois caminhos
Com a regra da cadeia. A função de dentro é u = x^2, então u' = 2x. Usando "derivada da função de dentro sobre a função de dentro", da derivada de ln x:
Com uma propriedade do logaritmo primeiro. A propriedade da potência dos logaritmos desce o expoente: \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert. Como \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x},
O módulo importa porque x^2 > 0 mesmo quando x < 0. Então \ln(x^2) existe também para x negativo, e a fórmula \frac{2}{x} vale dos dois lados de 0.
Derivada de (ln x)²
Aqui o logaritmo é calculado primeiro e depois elevado ao quadrado. A função de fora é um quadrado, então use a regra da cadeia com a regra da potência por fora:
Você também verá (\ln x)^2 escrito como \ln^2 x. Em geral, ele nunca é igual a \ln(x^2). Em x = e: \ln(e^2) = 2, mas (\ln e)^2 = 1.
Gráfico das duas funções
O gráfico mostra a diferença de sinal. \ln(x^2) sobe para x > 0 (sua inclinação \frac{2}{x} é positiva) e desce para x < 0. (\ln x)^2 tem mínimo em x = 1, onde sua derivada \frac{2\ln x}{x} vale 0.
Lado a lado
| \ln(x^2) | (\ln x)^2 | |
|---|---|---|
| O que é elevado ao quadrado | a entrada x | a saída \ln x |
| Domínio | x \ne 0 | x > 0 |
| Simplifica para | 2\ln\lvert x\rvert | não há forma mais simples |
| Derivada | \frac{2}{x} | \frac{2\ln x}{x} |
| Valor em x = e | 2 | 1 |
Mais exemplos
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}. Em geral \frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}.
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}. Aqui nada se cancela, porque a função de dentro não é uma potência pura.
Exemplo 3. \frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}.
Exemplo 4. \frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}, usando primeiro a propriedade da potência do logaritmo.
Erros comuns
- Escrever \frac{1}{x^2}. É preciso multiplicar pela derivada de dentro, 2x.
- Tratar \ln^2 x como \ln(x^2). Um eleva a saída ao quadrado, o outro a entrada.
- Escrever \frac{2}{x} para (\ln x)^2. Você perdeu o \ln x que a regra da potência deixa para trás.
Para praticar mais a regra da cadeia com logaritmos, veja a derivada de ln(2x), a derivação logarítmica e os exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
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Regra da cadeia: qualquer função
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