Dérivée de ln(x²) et de (ln x)² : formules et exemples
La dérivée de ln(x²) est 2/x, alors que celle de (ln x)² est 2 ln x / x. Les deux démonstrations, une courbe et comment les distinguer.
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée de ln(x²)
- \dfrac{2}{x} pour x \ne 0
- Dérivée de (ln x)²
- \dfrac{2\ln x}{x} pour x > 0
- Propriété clé du logarithme
- \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert
- Domaine de définition de ln(x²)
- x \ne 0
- Domaine de définition de (ln x)²
- x > 0
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La dérivée de \ln(x^2) est \dfrac{2}{x}. Ne la confondez pas avec (\ln x)^2, dont la dérivée est \dfrac{2\ln x}{x}.
Dérivée de ln(x²) : deux méthodes
Avec la règle de dérivation en chaîne. L'intérieur est u = x^2, donc u' = 2x. En appliquant « dérivée de l'intérieur divisée par l'intérieur », tiré de la dérivée de ln x :
Avec une propriété du logarithme d'abord. La propriété des puissances fait descendre l'exposant : \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert. Comme \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x},
La valeur absolue compte, car x^2 > 0 même quand x < 0. Donc \ln(x^2) existe aussi pour x négatif, et la formule \frac{2}{x} est valable des deux côtés de 0.
Dérivée de (ln x)²
Ici, on calcule d'abord le logarithme, puis on l'élève au carré. La fonction extérieure est un carré, donc on utilise la règle de dérivation en chaîne avec la règle de la puissance à l'extérieur :
On rencontre aussi (\ln x)^2 écrit \ln^2 x. En général, ce n'est jamais égal à \ln(x^2). En x = e : \ln(e^2) = 2, mais (\ln e)^2 = 1.
Courbe des deux fonctions
La courbe montre la différence de signe. \ln(x^2) monte pour x > 0 (sa pente \frac{2}{x} est positive) et descend pour x < 0. (\ln x)^2 a un minimum en x = 1, où sa dérivée \frac{2\ln x}{x} vaut 0.
Côte à côte
| \ln(x^2) | (\ln x)^2 | |
|---|---|---|
| Ce qui est élevé au carré | l'entrée x | la sortie \ln x |
| Domaine de définition | x \ne 0 | x > 0 |
| Se simplifie en | 2\ln\lvert x\rvert | pas de forme plus simple |
| Dérivée | \frac{2}{x} | \frac{2\ln x}{x} |
| Valeur en x = e | 2 | 1 |
Autres exemples
Exemple 1. \frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}. En général, \frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}.
Exemple 2. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}. Ici rien ne se simplifie, car l'intérieur n'est pas une simple puissance.
Exemple 3. \frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}.
Exemple 4. \frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}, en utilisant d'abord la propriété des puissances du logarithme.
Erreurs fréquentes
- Écrire \frac{1}{x^2}. Il faut multiplier par la dérivée intérieure 2x.
- Prendre \ln^2 x pour \ln(x^2). L'une élève la sortie au carré, l'autre l'entrée.
- Écrire \frac{2}{x} pour (\ln x)^2. Vous avez oublié le \ln x que laisse la règle de la puissance.
Pour vous entraîner davantage à la dérivation en chaîne avec des logarithmes, voir la dérivée de ln(2x), la dérivation logarithmique et les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.
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